Номер 348 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 98, §2

№348. Высота конуса равна $8$ дм. На каком расстоянии от вершины конуса надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна: а) половине площади основания; б) четверти площади основания?

✎ Запись в тетрадь

Дано:

PO = 8

дм, сечение

∥

основанию,

S_{1} = \frac{1}{2} S

S_{1} = \frac{1}{4} S

Найти:

P O_{1} = x

Плоскость

∥

основанию ⇒ сечение — круг с центром

O_{1}

на

PO

;

P O_{1} = x

PO = 8

△ P O_{1} M_{1} \sim △ POM

⇒

r_{1} = r \cdot \frac{x}{8}

(п. 40).2

\frac{S _{1}}{S} = \frac{π r _{1}^{2}}{π r ^{2}} = (\frac{x}{8})^{2} \Rightarrow x = 8 \frac{S _{1}}{S}

а)

\frac{S _{1}}{S} = \frac{1}{2}

x = \frac{8}{2} = 42

дм.4

б)

\frac{S _{1}}{S} = \frac{1}{4}

x = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4

дм.4

Ответ: а)

42

дм; б)

4

дм.

Пояснение

Идея. Сечение, параллельное основанию, подобно основанию. Площади кругов относятся как квадраты радиусов, а радиусы — как расстояния от вершины.

1Центр сечения лежит на оси, а радиус сечения перпендикулярен оси: $O_{1} M_{1} ∥ OM$ . Расстояние от вершины до секущей плоскости — $P O_{1} = x$ .
2Прямоугольные треугольники $P O_{1} M_{1}$ и $POM$ подобны (общий угол $P$ ), поэтому $\frac{r _{1}}{r} = \frac{P O _{1}}{PO}$ .
3Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса. Отношение площадей — квадрат отношения $\frac{x}{8}$ , откуда $x$ выражается через корень из отношения площадей.
4В случае а) $\frac{8}{2} = \frac{8 2}{2} = 42$ (около $5, 7$ дм). В случае б) радиус сечения вдвое меньше, расстояние — половина высоты.

Номер 348 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели