Номер 353 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

P A = l

O A = r

⌣ A B = 6 0^{\circ}

9 0^{\circ}

Найти:

S_{P A B}

P A = PB = l

M

— середина

A B

⇒

PM ⊥ A B

;

S_{P A B} = \frac{1}{2} A B \cdot PM

а) дуга

6 0^{\circ}

∠ A OB = 6 0^{\circ}

O A = OB = r

⇒

△ A OB

правильный,

A B = r

PM = l^{2} - \frac{r ^{2}}{4} = \frac{4 l ^{2} - r ^{2}}{2}

S = \frac{1}{2} \cdot r \cdot \frac{4 l ^{2} - r ^{2}}{2} = \frac{r 4 l ^{2} - r ^{2}}{4}

б) дуга

9 0^{\circ}

∠ A OB = 9 0^{\circ}

⇒

A B = r 2

A M = \frac{r 2}{2}

PM = l^{2} - \frac{r ^{2}}{2} = \frac{2 l ^{2} - r ^{2}}{2}

S = \frac{1}{2} \cdot r 2 \cdot \frac{2 l ^{2} - r ^{2}}{2} = \frac{r 2 l ^{2} - r ^{2}}{2}

Ответ: а)

\frac{r 4 l ^{2} - r ^{2}}{4}

; б)

\frac{r 2 l ^{2} - r ^{2}}{2}

Идея. Сечение через вершину и хорду — равнобедренный треугольник $P A B$ . Нужны основание $A B$ (по дуге) и высота $PM$ (по теореме Пифагора).

1Боковые стороны $P A$ и $PB$ — образующие, поэтому равны. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является и высотой.
2Дуга в $6 0^{\circ}$ задаёт центральный угол $A OB = 6 0^{\circ}$ . Треугольник с двумя равными сторонами $r$ и углом $6 0^{\circ}$ между ними правильный, так что хорда равна радиусу.
3В прямоугольном треугольнике $PM A$ гипотенуза $P A = l$ , катет $A M$ — половина хорды. Приводим корень к общему знаменателю.
4Для $9 0^{\circ}$ хорда — гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника $A OB$ , то есть $r 2$ . Дальше те же шаги: высота $PM$ , затем площадь. Множители $2$ сокращаются.