Номер 354 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

PO = 10

см,

⌣ A B = 6 0^{\circ}

∠ (P A B, осн) = β

Найти:

S_{P A B}

при

β = 3 0^{\circ}, 4 5^{\circ}, 6 0^{\circ}

Конус, высота PO = 10, сечение PAB; M — середина хорды AB, угол PMO = β — угол между плоскостью сечения и основанием

⌣ A B = 6 0^{\circ}

⇒

△ A OB

правильный,

A B = r

OM = \frac{r 3}{2}

(

M

— середина

A B

).1

OM ⊥ A B

PM ⊥ A B

⇒

∠ PMO = β

— угол между плоскостью

P A B

и основанием.2

PM = \frac{h}{sin β}, OM = \frac{h cos β}{sin β}

A B = r = \frac{2 OM}{3} = \frac{2 h cos β}{3 sin β}

S = \frac{1}{2} A B \cdot PM = \frac{h ^{2} cos β}{3 sin ^{2} β}

а)

β = 3 0^{\circ}

S = \frac{100 \cdot \frac{3}{2}}{3 \cdot \frac{1}{4}} = 200

б)

β = 4 5^{\circ}

S = \frac{100 \cdot \frac{2}{2}}{3 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{100 6}{3}

в)

β = 6 0^{\circ}

S = \frac{100 \cdot \frac{1}{2}}{3 \cdot \frac{3}{4}} = \frac{200 3}{9}

Ответ: а)

200

см²; б)

\frac{100 6}{3}

см²; в)

\frac{200 3}{9}

см².

Пояснение

Идея. Угол между плоскостью сечения и основанием — линейный угол при ребре $A B$ : $PM ⊥ A B$ и $OM ⊥ A B$ . Через него выражаем и высоту сечения $PM$ , и расстояние $OM$ , а по $OM$ находим радиус и хорду.

1Хорда, стягивающая дугу в $6 0^{\circ}$ , равна радиусу. $OM$ — высота правильного треугольника $A OB$ .
2Линейный угол двугранного угла строят перпендикулярами к ребру $A B$ , проведёнными в каждой грани. $OM ⊥ A B$ в основании, а $PM ⊥ A B$ , потому что $PM$ — медиана равнобедренного треугольника $P A B$ .
3 $PO$ перпендикулярна основанию, поэтому треугольник $POM$ прямоугольный с острым углом $β$ при $M$ : $PO = h$ — противолежащий катет.
4Из $OM = \frac{r 3}{2}$ выражаем $r$ и получаем хорду $A B = r$ .
5Площадь треугольника $P A B$ — половина основания на высоту, и $sin β$ входит в знаменатель дважды.
6Подставляем табличные значения $sin β$ и $cos β$ . Случай б): $\frac{2 /2}{3 /2} = \frac{2}{3}$ , умножаем на $100$ и избавляемся от иррациональности в знаменателе.

Номер 354 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели