Номер 355 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

конус с вершиной

P

, основание — круг

(O; r)

, плоскость

α ⊥ PO

O_{1} = α \cap PO

Доказать:

сечение — круг с центром

O_{1}

радиуса

r_{1} = \frac{P O _{1}}{PO} r

α ⊥ PO

, основание

⊥ PO

⇒

α ∥

основанию;

M

— точка основания,

PM

— образующая,

M_{1} = PM \cap α

O_{1} M_{1} ∥ OM

⇒

△ P O_{1} M_{1} \sim △ POM

(прямоугольные, общий угол

P

).2

O_{1} M_{1} = \frac{P O _{1}}{PO} \cdot OM = \frac{P O _{1}}{PO} \cdot r = r_{1}

Так как

OM = r

для любой образующей, все такие точки

M_{1}

лежат на окружности

(O_{1}; r_{1})

в плоскости

α

Обратно:

M_{1}^{'} \in α

O_{1} M_{1}^{'} = r_{1}

. Луч

P M_{1}^{'}

пересекает основание в

M^{'}

O M^{'} = \frac{PO}{P O _{1}} \cdot O_{1} M_{1}^{'} = \frac{PO}{P O _{1}} \cdot r_{1} = r

M^{'}

лежит на окружности основания ⇒

P M^{'}

— образующая и

M_{1}^{'}

принадлежит боковой поверхности.5

Итак, сечение боковой поверхности — окружность

(O_{1}; r_{1})

, а сечение конуса — ограниченный ею круг.5

Ответ: доказано.

Пояснение

Идея. Нужно показать два включения: каждая точка сечения лежит на окружности радиуса $r_{1}$ и, наоборот, каждая точка этой окружности принадлежит конусу. Оба раза работает подобие прямоугольных треугольников с общим углом при вершине.

1Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны. Поэтому радиус сечения $O_{1} M_{1}$ параллелен радиусу основания $OM$ , а $M_{1}$ лежит на образующей $PM$ .
2Параллельность радиусов даёт равенство соответственных углов, а общий угол $P$ — подобие. Коэффициент подобия — отношение высот $\frac{P O _{1}}{PO}$ .
3Из подобия находим $O_{1} M_{1}$ , а $OM = r$ для любой образующей. Расстояние от $O_{1}$ до точки сечения на каждой образующей одно и то же, значит, точки лежат на окружности.
4Теперь в обратную сторону. Для точки $M_{1}^{'}$ на окружности радиуса $r_{1}$ строим луч из $P$ через неё и смотрим, где он войдёт в основание. Подобие тех же треугольников даёт $O M^{'} = r$ .
5Луч $P M^{'}$ — образующая, поэтому точки окружности $(O_{1}; r_{1})$ принадлежат боковой поверхности, а круг, который она ограничивает, — сечению конуса плоскостью $α$ .

Номер 355 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели