Номер 356 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 99, §2

№356. Две секущие плоскости перпендикулярны к оси конуса. Докажите, что площади сечений конуса этими плоскостями относятся как квадраты расстояний от вершины конуса до этих плоскостей.

✎ Запись в тетрадь

Дано:

конус, две плоскости

⊥ PO

P O_{1} = d_{1}

P O_{2} = d_{2}

Доказать:

S_{1} : S_{2} = d_{1}^{2} : d_{2}^{2}

Конус и два сечения плоскостями, перпендикулярными оси: круги с центрами O₁ и O₂

Плоскости пересекают ось

PO

O_{1}

O_{2}

;

P O_{1} = d_{1}

P O_{2} = d_{2}

;

PO = h

, радиус основания

r

По задаче 355 сечения — круги радиусов

r_{1} = \frac{d _{1}}{h} r

r_{2} = \frac{d _{2}}{h} r

S_{1} = π r_{1}^{2} = π r^{2} \frac{d _{1}^{2}}{h ^{2}}, S_{2} = π r^{2} \frac{d _{2}^{2}}{h ^{2}}

\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{π r ^{2} d _{1}^{2} / h ^{2}}{π r ^{2} d _{2}^{2} / h ^{2}} = \frac{d _{1}^{2}}{d _{2}^{2}}

Ответ: доказано.

Пояснение

Идея. Сечение плоскостью, перпендикулярной оси, — круг, радиус которого пропорционален расстоянию от вершины (задача 355). Площади кругов пропорциональны квадратам радиусов.

1Оба сечения лежат в плоскостях, перпендикулярных одной оси, а расстояния от вершины до плоскостей измеряются вдоль оси: это $d_{1}$ и $d_{2}$ .
2Коэффициент пропорциональности один и тот же — $\frac{r}{h}$ , потому что конус общий. Тогда $r_{1} : r_{2} = d_{1} : d_{2}$ .
3Площадь круга — $π r^{2}$ , поэтому квадраты расстояний попадают в формулы площадей.
4В отношении площадей сокращаются $π$ , $r^{2}$ и $h^{2}$ . Остаётся отношение квадратов расстояний до вершины.

Номер 356 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели