Номер 359 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

дуга сектора развёртки

α = 18 0^{\circ}, 9 0^{\circ}, 6 0^{\circ}

Найти:

γ = ∠ A PB

α = \frac{360 r}{l} \Rightarrow \frac{r}{l} = \frac{α}{360}

Осевое сечение

P A B

равнобедренное,

PO

— высота и биссектриса:

∠ A PO = \frac{γ}{2}

sin \frac{γ}{2} = \frac{A O}{P A} = \frac{r}{l} = \frac{α}{360}

а)

α = 18 0^{\circ}

sin \frac{γ}{2} = \frac{1}{2}

γ = 6 0^{\circ}

б)

α = 9 0^{\circ}

sin \frac{γ}{2} = \frac{1}{4}

γ = 2 arcsin \frac{1}{4}

в)

α = 6 0^{\circ}

sin \frac{γ}{2} = \frac{1}{6}

γ = 2 arcsin \frac{1}{6}

Ответ: а)

6 0^{\circ}

; б)

2 arcsin \frac{1}{4}

; в)

2 arcsin \frac{1}{6}

Идея. Угол сектора развёртки определяет отношение $\frac{r}{l}$ , а это ровно синус половины угла при вершине осевого сечения.

1Формула из п. 41: длина дуги сектора равна длине окружности основания. Из неё отношение радиуса к образующей — доля полного круга, которую занимает сектор.
2Осевое сечение — равнобедренный треугольник, и его высота $PO$ делит угол при вершине пополам.
3В прямоугольном треугольнике $PO A$ радиус $A O$ лежит против угла $\frac{γ}{2}$ , а образующая $P A = l$ — гипотенуза.
4Для $\frac{1}{2}$ угол табличный ( $3 0^{\circ}$ ), остальные значения $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{6}$ — не табличные, поэтому ответ записываем через арксинус.