Номер 363 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

∠ (PB, осн) = φ

;

△ A BC

вписан в основание,

BC = a

∠ A = α

Найти:

S_{полн}

Конус: образующая PB наклонена к основанию под углом φ; в основание вписан треугольник ABC, BC = a, угол A = α

Окружность основания описана около

△ A BC

: по теореме синусов1

\frac{BC}{sin α} = 2 r \Rightarrow r = \frac{a}{2 sin α}

OB

— проекция

PB

на основание ⇒

∠ PBO = φ

l = PB = \frac{OB}{cos φ} = \frac{r}{cos φ}

S_{полн} = π r (l + r) = π r^{2} \frac{1 + cos φ}{cos φ}

S_{полн} = \frac{π a ^{2}}{4 sin ^{2} α} \cdot \frac{2 cos ^{2} \frac{φ}{2}}{cos φ} = \frac{π a ^{2} cos ^{2} \frac{φ}{2}}{2 sin ^{2} α cos φ}

Ответ:

\frac{π a ^{2} cos ^{2} \frac{φ}{2}}{2 sin ^{2} α cos φ}

Пояснение

Идея. Для $S = π r (l + r)$ нужны радиус и образующая. Радиус — это радиус окружности, описанной около вписанного треугольника; образующую даёт угол $φ$ .

1Теорема синусов: сторона треугольника, делённая на синус противолежащего угла, равна диаметру описанной окружности. Здесь описанная окружность — окружность основания.
2Высота $PO$ перпендикулярна основанию, значит $OB$ — проекция образующей, и угол $φ$ — это угол $PBO$ прямоугольного треугольника $POB$ . Радиус — прилежащий катет, образующая — гипотенуза.
3 $l + r = r (\frac{1}{c o s φ} + 1) = r \frac{1 + c o s φ}{c o s φ}$ : выносим $r$ за скобку.
4Подставляем $r$ и заменяем $1 + cos φ = 2 cos^{2} \frac{φ}{2}$ (формула половинного угла) — так получается ответ в виде, как в учебнике.

Номер 363 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели