Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 99, §2
№365. Равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна m, а угол при основании равен φ, вращается вокруг основания. Найдите площадь поверхности тела, полученного при вращении треугольника.
✎ Запись в тетрадь
Дано:AB=BC=m, ∠A=φ, ось AC
Найти:S поверхности тела вращения
BH⊥AC: из
△ABH радиус общего основания
r=BH=msinφ.
1 Тело — два равных конуса с общим основанием, образующая каждого
AB=BC=m.
2Ответ: 2πm2sinφ.
Пояснение
Идея. При вращении вокруг основания точка B описывает окружность, а боковые стороны — образующие двух конусов, склеенных основаниями. Основания внутри тела, в поверхность не входят.
- 1Высота BH равнобедренного треугольника перпендикулярна оси AC, поэтому она и есть радиус окружности, которую описывает B. В прямоугольном треугольнике ABH эта высота — катет против угла φ.
- 2A и C — вершины конусов, стороны AB и CB — образующие. Поверхность тела состоит только из двух боковых поверхностей, общий круг внутри.
- 3Площадь боковой поверхности конуса πrl (п. 41); слагаемых два, и они равны.
Частая ошибка. Прибавить площадь общего круга: он внутри тела и в его поверхность не входит.
