Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 100, §2
№369. Площадь боковой поверхности конуса равна 80 см2. Через середину высоты проведена плоскость, перпендикулярная к высоте. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося при этом усечённого конуса.
✎ Запись в тетрадь
Дано:Sбок=80 см2, PO1=O1O, плоскость ⊥PO
Найти:Sбок усечённого конуса
Плоскость
⊥PO ⇒ она
∥ основанию и отсекает малый конус
PB1, подобный данному,
k=POPO1=21.
1Sмал=k2S=41⋅80=20 (см2)2 Sусеч=S−Sмал=80−20=60 (см2)3 Ответ: 60 см2.
Пояснение
Идея. Боковая поверхность усечённого конуса — это боковая поверхность полного конуса без поверхности отсечённого малого конуса. Малый конус подобен большому, а площади подобных поверхностей относятся как квадрат коэффициента подобия.
- 1Сечение, перпендикулярное оси, параллельно основанию (п. 42), поэтому малый конус подобен данному. Коэффициент подобия равен отношению высот: PO1:PO=1:2.
- 2Боковая поверхность πrl растёт как произведение двух линейных размеров, то есть площади относятся как k2. Можно проверить: радиус и образующая малого конуса вдвое меньше.
- 3Отсекли малый конус — осталась боковая поверхность усечённого.
Частая ошибка. Взять половину площади (40): подобие линейных размеров в 2 раза даёт площадь в 4 раза меньше.
