Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 110, §3
№372. Точки A и B лежат на сфере с центром O∈/AB, а точка M лежит на отрезке AB. Докажите, что: а) если M — середина отрезка AB, то OM⊥AB; б) если OM⊥AB, то M — середина отрезка AB.
✎ Запись в тетрадь
Дано:A,B∈ сфере с центром O, O∈/AB, M∈AB
Доказать:а) AM=MB⇒OM⊥AB; б) OM⊥AB⇒AM=MB
OA=OB=R (радиусы сферы),
O∈/AB ⇒
△AOB равнобедренный,
AB — основание.
1 а)
AM=MB ⇒
OM — медиана к основанию ⇒
OM — высота,
OM⊥AB.
2 б)
OM⊥AB ⇒
OM — высота к основанию ⇒
OM — медиана,
AM=MB.
■3 Ответ: доказано.
Пояснение
Идея. Все точки сферы одинаково удалены от центра (п. 43), поэтому A, B и центр O образуют равнобедренный треугольник. Дальше работает свойство равнобедренного треугольника из планиметрии.
- 1Отрезки OA и OB — радиусы, значит, равны. Условие O∈/AB нужно, чтобы три точки образовали настоящий треугольник, а не отрезок.
- 2В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и высотой.
- 3Верно и обратное: высота, проведённая к основанию, является и медианой. Это следует из равенства прямоугольных треугольников AOM и BOM: у них общий катет OM и равные гипотенузы OA=OB, откуда AM=MB.
Проверка. Следствие: расстояние от центра сферы до прямой AB — это OM, где M — середина хорды.
