Номер 373 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 110, §3

№373. Точка $M$ — середина отрезка $A B$ , концы которого лежат на сфере радиуса $R$ с центром $O$ . Найдите: а) $OM$ , если $R = 50$ см, $A B = 40$ см; б) $OM$ , если $R = 15$ мм, $A B = 18$ мм; в) $A B$ , если $R = 10$ дм, $OM = 60$ см; г) $A M$ , если $R = a$ , $OM = b$ .

✎ Запись в тетрадь

Дано:

A, B \in

сфере

(O; R)

M

— середина

A B

Найти:

а), б)

OM

; в)

A B

; г)

A M

Сфера радиуса R, хорда AB, M — середина AB, OM ⊥ AB

O A = R

M

— середина

A B

⇒

OM ⊥ A B

(№372),

A M = \frac{A B}{2}

O M^{2} + A M^{2} = O A^{2} = R^{2}

а)

OM = 5 0^{2} - 2 0^{2} = 2100 = 1021 (см)

б)

OM = 1 5^{2} - 9^{2} = 144 = 12 (мм)

в)

OM = 60 см = 6 дм

A M = 1 0^{2} - 6^{2} = 8

A B = 2 A M = 16 дм

г)

A M = R^{2} - O M^{2} = a^{2} - b^{2}

Ответ: а)

1021

см; б)

12

мм; в)

16

дм; г)

a^{2} - b^{2}

Пояснение

Идея. Радиус $O A$ , половина хорды $A M$ и расстояние $OM$ от центра до хорды образуют прямоугольный треугольник: $O A$ — гипотенуза.

1Середина хорды соединена с центром отрезком, перпендикулярным хорде (задача 372). Поэтому треугольник $OM A$ прямоугольный, а $A M$ — половина $A B$ .
2Теорема Пифагора в $△ OM A$ с гипотенузой $O A = R$ .
3Дальше подставляем числа в одну формулу: нужно найти катет, зная гипотенузу и другой катет. В а) известен $A M = 20$ , в б) $A M = 9$ .
4В в) единицы разные: переводим $60$ см в дециметры. Нашли $A M$ — удваиваем, чтобы получить $A B$ .

Частая ошибка. Взять $A B$ вместо $A M$ в теорему Пифагора: в треугольник входит половина хорды.

Номер 373 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели