Номер 374 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 110, §3

№374. Точки $A$ и $B$ лежат на сфере радиуса $R$ . Найдите расстояние от центра сферы до прямой $A B$ , если $A B = m$ .

✎ Запись в тетрадь

Дано:

A, B \in

сфере

(O; R)

A B = m

Найти:

ρ (O, A B)

M

— середина

A B

⇒

OM ⊥ A B

(№372), значит

OM

— искомое расстояние;

A M = \frac{m}{2}

OM = O A^{2} - A M^{2} = R^{2} - \frac{m ^{2}}{4}

OM = \frac{4 R ^{2} - m ^{2}}{2}

Ответ:

\frac{4 R ^{2} - m ^{2}}{2}

Идея. Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра. Он падает в середину хорды, потому что $O A = OB$ ; дальше — теорема Пифагора.

1Центр равноудалён от концов хорды, значит, перпендикуляр из центра на хорду попадает в её середину (№372). Его длина — расстояние от $O$ до прямой $A B$ .
2Прямоугольный треугольник $OM A$ : гипотенуза $R$ , катет $\frac{m}{2}$ .
3Вносим дробь под общий корень: $R^{2} - \frac{m ^{2}}{4} = \frac{4 R ^{2} - m ^{2}}{4}$ , а $\frac{\dots}{4} = \frac{\dots}{2}$ .