Номер 375 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 110, §3

№375. Шар радиуса $41$ дм пересечён плоскостью, находящейся на расстоянии $9$ дм от центра шара. Найдите площадь сечения.

✎ Запись в тетрадь

Дано:

шар

(O; R)

R = 41

дм,

d = 9

дм

Найти:

S_{сеч}

Сечение шара плоскостью — круг.

O O_{1} ⊥

плоскости,

O O_{1} = d = 9

;

M

— на границе круга,

OM = R = 41

r = O_{1} M = R^{2} - d^{2} = 4 1^{2} - 9^{2} = 1600 = 40 (дм)

S = π r^{2} = 1600 π (дм^{2})

Ответ:

1600 π

дм

^{2}

Идея. Плоскость, удалённая от центра на $d < R$ , пересекает шар по кругу радиуса $R^{2} - d^{2}$ (п. 44). Площадь круга — по обычной формуле.

1Расстояние от центра до плоскости — длина перпендикуляра $O O_{1}$ ; $O_{1}$ — центр круга-сечения. Любая точка $M$ границы сечения лежит на сфере, поэтому $OM = R$ .
2Треугольник $O O_{1} M$ прямоугольный: $O O_{1} ⊥ O_{1} M$ (прямая $O O_{1}$ перпендикулярна всем прямым плоскости). Радиус сечения — катет, $R$ — гипотенуза.
3Площадь круга сечения $π r^{2}$ ; корень брать не нужно, он в формуле возводится в квадрат: $r^{2} = 4 1^{2} - 9^{2} = 1600$ .