Номер 376 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 110, §3

№376. Вершины треугольника $A BC$ лежат на сфере радиуса $13$ см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если $A B = 6$ см, $BC = 8$ см, $A C = 10$ см.

✎ Запись в тетрадь

Дано:

A, B, C \in

сфере

(O; 13)

A B = 6

BC = 8

A C = 10

см

Найти:

ρ (O, A BC)

Сфера радиуса 13, треугольник ABC с вершинами на сфере, O₁ — центр окружности сечения, OO₁ ⊥ ABC

6^{2} + 8^{2} = 1 0^{2}

⇒

∠ B = 9 0^{\circ}

A C

— гипотенуза.1

Сечение сферы плоскостью

A BC

— окружность, описанная около

△ A BC

;

O_{1}

— середина

A C

r = O_{1} C = \frac{A C}{2} = 5 (см)

O O_{1} ⊥ A BC

⇒

△ O O_{1} C

прямоугольный,

OC = R = 13

d = O O_{1} = R^{2} - r^{2} = 169 - 25 = 12 (см)

Ответ:

12

см.

Пояснение

Идея. Вершины лежат и на сфере, и в плоскости, значит, на окружности сечения; эта окружность описана около треугольника. Радиус сечения связывает расстояние до плоскости с радиусом сферы: $r^{2} + d^{2} = R^{2}$ (п. 44).

1Числа $6, 8, 10$ дают прямоугольный треугольник по теореме, обратной теореме Пифагора: $36 + 64 = 100$ .
2Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы, радиус — её половина.
3Перпендикуляр из центра сферы на плоскость падает в центр окружности сечения $O_{1}$ . В прямоугольном треугольнике $O O_{1} C$ гипотенуза — радиус сферы.

Номер 376 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели