Номер 379 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 110, §3

№379. Все стороны треугольника $A BC$ касаются сферы радиуса $5$ см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если $A B = 13$ см, $BC = 14$ см, $C A = 15$ см.

✎ Запись в тетрадь

Дано:

стороны

△ A BC

касаются сферы

(O; 5)

;

A B = 13

BC = 14

C A = 15

см

Найти:

ρ (O, A BC)

Сфера радиуса 5; стороны треугольника ABC касаются сферы; окружность сечения вписана в треугольник

Как в №378: сечение — окружность, вписанная в

△ A BC

, радиус

ρ = \frac{S}{p}

p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21, S = 21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 84

ρ = \frac{84}{21} = 4 (см)

d = O O_{1} = R^{2} - ρ^{2} = 25 - 16 = 3 (см)

Ответ:

3

см.

Пояснение

Идея. Задача 378 с другим треугольником: плоскость сечения касается сторон, поэтому окружность сечения вписана в треугольник. Площадь неравнобедренного треугольника считаем по формуле Герона.

1Стороны касаются сферы — окружность сечения вписана в треугольник (рассуждение из №378). Радиус вписанной окружности равен площади, делённой на полупериметр.
2Высота треугольника здесь заранее не известна, поэтому площадь удобнее найти по формуле Герона. $21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 7056 = 8 4^{2}$ .
3Радиус сферы — гипотенуза в прямоугольном треугольнике $O O_{1} T$ : катет $O_{1} T = ρ$ , катет $O O_{1} = d$ .

Номер 379 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели