Номер 378 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

стороны

△ A BC

касаются сферы

(O; 5)

;

10

10

12

см

Найти:

ρ (O, A BC)

Сфера радиуса 5; стороны треугольника ABC касаются сферы; окружность сечения вписана в треугольник

Точки касания — на сфере и в плоскости

A BC

⇒ на окружности сечения; она вписана в

△ A BC

h = 1 0^{2} - 6^{2} = 8, S = \frac{12 \cdot 8}{2} = 48, p = 16

ρ = \frac{S}{p} = \frac{48}{16} = 3 (см)

O O_{1} ⊥ A BC

OT = R = 5

O_{1} T = ρ = 3

d = O O_{1} = 5^{2} - 3^{2} = 4 (см)

Ответ:

4

см.

Пояснение

Идея. Плоскость треугольника пересекает сферу по окружности. Раз стороны касаются сферы, эта окружность касается сторон — она вписана в треугольник. Остаётся найти радиус вписанной окружности и применить $d = R^{2} - ρ^{2}$ .

1Точка касания стороны со сферой лежит на стороне, то есть в плоскости треугольника, и на сфере — значит, на окружности сечения. Других общих точек со сферой у стороны нет, поэтому с окружностью тоже: сторона её касается.
2Радиус вписанной окружности $ρ = \frac{S}{p}$ , где $p$ — полупериметр. Высоту к основанию $12$ находим по теореме Пифагора из половины равнобедренного треугольника.
3Радиус $OT$ сферы, радиус вписанной окружности $O_{1} T$ и расстояние $O O_{1}$ образуют прямоугольный треугольник: $O O_{1} ⊥$ плоскости, значит $O O_{1} ⊥ O_{1} T$ .

Номер 378 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели