Номер 382 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

шар

(O; R)

, секущая плоскость на расстоянии

d

от центра

Найти:

а)

S_{сеч}

при

R = 12

d = 8

; б)

R

при

S_{сеч} = 12

d = 2

Сечение — круг радиуса

r

с центром

O_{1}

;

O O_{1} = d

O_{1} A = r

O A = R

O O_{1} ⊥ O_{1} A

R^{2} = r^{2} + d^{2} \Rightarrow r^{2} = R^{2} - d^{2}

а)

S = π r^{2} = π (1 2^{2} - 8^{2}) = 80 π (см^{2})

б)

π r^{2} = 12 \Rightarrow r^{2} = \frac{12}{π}

R = r^{2} + d^{2} = \frac{12}{π} + 4 (см)

Ответ: а)

80 π

см

^{2}

; б)

\frac{12}{π} + 4

см.

Идея. Сечение шара плоскостью — круг, а его радиус связан с радиусом шара и расстоянием до плоскости теоремой Пифагора: $r^{2} + d^{2} = R^{2}$ .

1Опустим перпендикуляр из центра шара на плоскость: его основание $O_{1}$ — центр круга-сечения. Точка $A$ на границе сечения лежит и на сфере, поэтому $O A = R$ .
2В прямоугольном треугольнике $O O_{1} A$ гипотенуза — $R$ , катеты — $d$ и $r$ . Нам нужен не сам радиус $r$ , а его квадрат: площадь круга содержит именно $r^{2}$ .
3В пункте а) $r^{2} = 144 - 64 = 80$ — корень извлекать не нужно, сразу $S = 80 π$ .
4В пункте б) площадь известна, значит, известен $r^{2} = \frac{12}{π}$ . Прибавляем $d^{2} = 4$ и извлекаем корень — получаем $R$ .

Частая ошибка. Извлекать корень из $80$ и потом возводить в квадрат: площадь выражается через $r^{2}$ напрямую.