Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 110, §3
№381. Отрезок OH — высота тетраэдра OABC. Выясните взаимное расположение сферы радиуса R с центром O и плоскости ABC, если: а) R=6 дм, OH=60 см; б) R=3 м, OH=95 см; в) R=5 дм, OH=45 см; г) R=3,5 дм, OH=40 см.
✎ Запись в тетрадь
Дано:OH⊥ABC — высота тетраэдра OABC; сфера (O;R)
Найти:взаимное расположение сферы и плоскости ABC
OH⊥ABC ⇒
d=OH — расстояние от
O до плоскости
ABC.
1 Сравниваем
d и
R (п. 45), приведя к одним единицам.
2а)
OH=60 см=6 дм=R — плоскость касается сферы.
3 б)
R=3 м=300 см,
OH=95 см
<R — пересекает.
3 в)
OH=45 см=4,5 дм<5 дм — пересекает.
3 г)
R=3,5 дм=35 см,
OH=40 см
>R — нет общих точек.
3 Ответ: а) касается; б), в) пересекает; г) нет общих точек.
Пояснение
Идея. Взаимное расположение сферы и плоскости определяется сравнением радиуса R и расстояния d от центра до плоскости: d<R — пересекает, d=R — касается, d>R — общих точек нет.
- 1Высота тетраэдра OABC, проведённая из вершины O, — перпендикуляр к плоскости ABC. Её длина и есть расстояние от центра O до этой плоскости.
- 2Радиус и высота даны в разных единицах (дм, см, м). Сначала переводим в одни единицы, иначе сравнение теряет смысл.
- 3Применяем правило: равны — касается (а); высота меньше радиуса — пересекает (б, в); высота больше радиуса — плоскость «не дотягивается» до сферы (г).
Частая ошибка. Сравнивать числа 6 и 60 без перевода единиц: в а) они равны, хотя числа разные.
