Номер 383 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 110, §3

№383. Через точку, делящую радиус сферы пополам, проведена секущая плоскость, перпендикулярная этому радиусу. Радиус сферы равен $R$ . Найдите: а) радиус получившегося сечения; б) площадь боковой поверхности конуса, вершиной которого является центр сферы, а основанием — полученное сечение.

✎ Запись в тетрадь

Дано:

сфера

(O; R)

; плоскость

⊥ O O_{1}

O O_{1} = \frac{R}{2}

Найти:

а) радиус сечения

r

; б)

S_{бок}

конуса

O

и сечения

Сфера радиуса R, сечение на расстоянии R/2 от центра, конус с вершиной O и основанием — сечение

O O_{1} = \frac{R}{2}

O O_{1} ⊥

плоскости сечения,

O_{1} A = r

O A = R

а)

r = R^{2} - (\frac{R}{2})^{2} = \frac{3 R ^{2}}{4} = \frac{3}{2} R

б)

Образующая конуса

O A = R

, радиус основания

r = \frac{3}{2} R

S_{бок} = π r l = π \cdot \frac{3}{2} R \cdot R = \frac{π 3}{2} R^{2}

Ответ: а)

\frac{3}{2} R

; б)

\frac{π 3}{2} R^{2}

Пояснение

Идея. Сечение — круг радиуса $r$ с $r^{2} = R^{2} - d^{2}$ , где $d = \frac{R}{2}$ . Конус с вершиной в центре шара и основанием — этим кругом имеет образующей радиус сферы.

1Плоскость перпендикулярна радиусу $O O_{1}$ в его середине. Поэтому $O_{1}$ — центр сечения, а расстояние от центра шара до плоскости равно $\frac{R}{2}$ .
2Теорема Пифагора в треугольнике $O O_{1} A$ : $r = R^{2} - \frac{R ^{2}}{4} = \frac{3}{2} R$ . Заодно $∠ O_{1} O A = 6 0^{\circ}$ , так как $cos ∠ O_{1} O A = \frac{1}{2}$ .
3У конуса вершина $O$ и основание — сечение. Его образующая — отрезок от $O$ до любой точки окружности сечения, а все такие точки лежат на сфере, поэтому $l = R$ .
4Боковая поверхность конуса: $π r l$ . Радиус берём из пункта а), образующую — $R$ .

Номер 383 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели