Номер 384 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Рисуем сечение сферы плоскостью, проходящей через диаметр $AB$ и перпендикулярной секущей плоскости: получается большая окружность с хордой $AC$ — диаметром окружности сечения.

1. 1Угол между прямой $AB$ и секущей плоскостью — это угол между $AB$ и её проекцией на плоскость. Выбираем плоскость чертежа через $AB$ перпендикулярно секущей: тогда след секущей плоскости — хорда $AC$, и $\angle BAC=\alpha$.
2. 2Точка $A$ лежит в секущей плоскости, поэтому на окружности сечения. Хорда $AC$ проходит через центр окружности сечения, так как лежит в плоскости чертежа, перпендикулярной секущей. Значит, $AC$ — диаметр окружности сечения. Вписанный угол $ACB$ опирается на диаметр шара, поэтому он прямой.
3. 3Из прямоугольного треугольника $ACB$ катет, прилежащий к углу $\alpha$, равен $AB\cos \alpha =2R\cos \alpha$.
4. 4Длина окружности — $\pi$ на диаметр: $l=\pi \cdot 2R\cos \alpha$.
5. 5Подставляем: $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$.