Номер 385 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 110, §3

№385. Через точку сферы радиуса $R$ , которая является границей данного шара, проведены две плоскости, одна из которых является касательной к сфере, а другая наклонена под углом $φ$ к касательной плоскости. Найдите площадь сечения данного шара.

✎ Запись в тетрадь

Дано:

шар

(O; R)

A \in

сфере;

α

— касательная плоскость в

A

β ∋ A

∠ (α, β) = φ

Найти:

S_{сеч}

шара плоскостью

β

O A ⊥

касательной плоскости. Угол между плоскостями равен углу между их нормалями:

O A

O H

∠ A O H = φ, d = O H = R cos φ

r^{2} = R^{2} - d^{2} = R^{2} - R^{2} cos^{2} φ = R^{2} sin^{2} φ

S = π r^{2} = π R^{2} sin^{2} φ

Ответ:

π R^{2} sin^{2} φ

Пояснение

Идея. Секущая плоскость наклонена к касательной на угол $φ$ , значит, расстояние от центра шара до неё равно $R cos φ$ . Дальше — обычная формула сечения: $r^{2} = R^{2} - d^{2}$ .

1Радиус $O A$ , проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости. Перпендикуляр $O H$ из центра на секущую плоскость перпендикулярен ей. Угол между плоскостями равен углу между перпендикулярами к ним.
2В прямоугольном треугольнике $A H O$ угол при $O$ равен $φ$ , гипотенуза $O A = R$ . Катет $O H$ — прилежащий к углу, поэтому $d = R cos φ$ . (Проверка в крайних случаях: $φ = 0$ — плоскость касается, $d = R$ .)
3Радиус сечения — второй катет, $r = R sin φ$ . Квадрат радиуса: $R^{2} - R^{2} cos^{2} φ = R^{2} sin^{2} φ$ .
4Площадь круга сечения — $π r^{2}$ .

Номер 385 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели