Номер 386 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

сфера

(O; R)

касается граней двугранного угла

12 0^{\circ}

T_{1}

T_{2}

;

ρ (O, ребро) = a

Найти:

R

;

T_{1} T_{2}

Сечение плоскостью, перпендикулярной ребру и проходящей через центр сферы: четырёхугольник ETOT с двумя прямыми углами

Грани касаются сферы в

T_{1}, T_{2}

⇒

O T_{1} ⊥

грани,

O T_{2} ⊥

грани,

O T_{1} = O T_{2} = R

Плоскость

T_{1} O T_{2} ⊥

ребру; пусть она пересекает ребро в точке

E

OE = a

∠ T_{1} E T_{2} = 12 0^{\circ}

OE

— биссектриса ⇒

∠ OE T_{1} = 6 0^{\circ}

R = O T_{1} = a sin 6 0^{\circ} = \frac{a 3}{2}, E T_{1} = a cos 6 0^{\circ} = \frac{a}{2}

∠ T_{1} O T_{2} = 36 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

O T_{1} = O T_{2}

⇒

△ O T_{1} T_{2}

равносторонний.5

T_{1} T_{2} = O T_{1} = \frac{a 3}{2}

Ответ:

R = \frac{a 3}{2}

;

T_{1} T_{2} = \frac{a 3}{2}

Пояснение

Идея. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны граням, а значит, и ребру. Поэтому всё происходит в одной плоскости — сечении, перпендикулярном ребру, где получается плоская задача про четырёхугольник $E T_{1} O T_{2}$ .

1 $O T_{1} ⊥$ грани, а ребро лежит в этой грани, поэтому $O T_{1} ⊥$ ребру. То же для $O T_{2}$ . Две пересекающиеся прямые $O T_{1}$ , $O T_{2}$ , перпендикулярные ребру, задают плоскость, перпендикулярную ребру.
2Эта плоскость пересекает ребро в точке $E$ , а грани — по лучам $E T_{1}$ и $E T_{2}$ . Угол между ними — линейный угол двугранного угла, то есть $12 0^{\circ}$ . Расстояние от центра до ребра — отрезок $OE$ ( $OE ⊥$ ребру), он равен $a$ .
3Центр сферы, равноудалённый от граней, лежит на биссектрисе: прямоугольные треугольники $OE T_{1}$ и $OE T_{2}$ равны по гипотенузе и катету, значит, $∠ OE T_{1} = 6 0^{\circ}$ .
4В прямоугольном треугольнике $OE T_{1}$ гипотенуза $OE = a$ , угол $6 0^{\circ}$ : катет против него — радиус $R = a sin 6 0^{\circ}$ , второй катет — $\frac{a}{2}$ .
5Четырёхугольник $E T_{1} O T_{2}$ имеет два прямых угла и угол $12 0^{\circ}$ , поэтому $∠ T_{1} O T_{2} = 6 0^{\circ}$ . Треугольник с двумя равными сторонами и углом $6 0^{\circ}$ равносторонний, поэтому расстояние между точками касания равно радиусу.

Проверка. Другой способ для $T_{1} T_{2}$ : $2 \cdot E T_{1} \cdot sin 6 0^{\circ} = 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{a 3}{2}$ — тот же результат.

Номер 386 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели