Номер 387 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 111, §3

№387. Радиус сферы равен $112$ см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки касания на $15$ см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.

✎ Запись в тетрадь

Дано:

сфера

(O; 112)

T

— точка касания,

M \in

касательной плоскости,

TM = 15

см

Найти:

расстояние от

M

до ближайшей точки сферы

OT ⊥

касательной плоскости ⇒

OT ⊥ TM

△ OTM

прямоугольный:

OT = 112

TM = 15

OM = 11 2^{2} + 1 5^{2} = 12769 = 113 (см)

Ближайшая к

M

точка сферы

N

лежит на отрезке

OM

(она вне шара).3

MN = OM - ON = 113 - 112 = 1 (см)

Ответ:

1

см.

Пояснение

Идея. Точка вне шара: ближайшая точка сферы лежит на прямой, соединяющей её с центром. Значит, искомое расстояние равно $OM - R$ , остаётся найти $OM$ из прямоугольного треугольника.

1Касательная плоскость перпендикулярна радиусу в точке касания, поэтому $OT ⊥ TM$ . Катеты $112$ и $15$ дают гипотенузу $OM$ .
2 $11 2^{2} = 12544$ , $1 5^{2} = 225$ , сумма $12769 = 11 3^{2}$ (это тройка $15$ , $112$ , $113$ ).
3Любая другая точка $X$ сферы даёт $MX ⩾ OM - OX = OM - R$ (неравенство треугольника $OM ⩽ OX + XM$ ), равенство — только когда $X$ лежит на отрезке $OM$ . Поэтому $MN = OM - R$ .

Номер 387 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели