Номер 391 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 111, §3

№391. Докажите, что площади двух сфер пропорциональны квадратам их радиусов.

✎ Запись в тетрадь

Дано:

сферы радиусов

R_{1}

R_{2}

, площади

S_{1}

S_{2}

Доказать:

\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{R _{1}^{2}}{R _{2}^{2}}

Пусть радиусы сфер

R_{1}

R_{2}

, площади

S_{1}

S_{2}

S_{1} = 4 π R_{1}^{2}, S_{2} = 4 π R_{2}^{2}

\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{4 π R _{1}^{2}}{4 π R _{2}^{2}} = \frac{R _{1}^{2}}{R _{2}^{2}}

Значит,

S_{1} : S_{2} = R_{1}^{2} : R_{2}^{2}

■

Ответ: доказано.

Идея. Площадь сферы выражается формулой $4 π R^{2}$ с одним и тем же коэффициентом $4 π$ для всех сфер, поэтому в отношении он сокращается.

1Вводим обозначения для двух произвольных сфер.
2Записываем для каждой формулу площади (п. 48).
3Делим одно равенство на другое: общий множитель $4 π$ сокращается, остаётся отношение квадратов радиусов. Это и значит, что $S_{1}$ и $S_{2}$ пропорциональны $R_{1}^{2}$ и $R_{2}^{2}$ .

Проверка. Пример: радиус вырос в $3$ раза — площадь выросла в $9$ раз.