Номер 393 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

сфера

(O; R)

, параллельные сечения радиусов

9

12

см, расстояние между плоскостями

3

см

Найти:

S_{сферы}

Сечение сферы плоскостью через центр, перпендикулярной секущим плоскостям: две параллельные хорды 18 и 24, O₁O₂ = 3

Пусть

O_{1} A = 9

O_{2} B = 12

;

d_{1} = O O_{1}

d_{2} = O O_{2}

— расстояния от центра до плоскостей.1

R^{2} = 81 + d_{1}^{2} = 144 + d_{2}^{2} \Rightarrow d_{1}^{2} - d_{2}^{2} = 63

Плоскости по разные стороны от центра:

d_{1} + d_{2} = 3

⇒

d_{1} - d_{2} = 21 > 3

— невозможно.3

Значит, по одну сторону:

d_{1} - d_{2} = 3

⇒

d_{1} + d_{2} = \frac{63}{3} = 21

d_{1} = 12, d_{2} = 9, R^{2} = 81 + 144 = 225, R = 15 (см)

S = 4 π R^{2} = 4 π \cdot 225 = 900 π (см^{2})

Ответ:

900 π

см

^{2}

Пояснение

Идея. Для каждого сечения $R^{2} = r^{2} + d^{2}$ с одним и тем же $R$ . Из двух равенств получаем связь расстояний $d_{1}$ , $d_{2}$ ; разность расстояний или их сумма равна $3$ — разбираем оба случая.

1Центры сечений лежат на одной прямой с центром сферы — перпендикуляре к параллельным плоскостям. Расстояния $d_{1}$ и $d_{2}$ — катеты в треугольниках $O O_{1} A$ и $O O_{2} B$ с общей гипотенузой $R$ .
2Приравниваем два выражения для $R^{2}$ и переносим: $d_{1}^{2} - d_{2}^{2} = 144 - 81 = 63$ . Левая часть раскладывается: $(d_{1} - d_{2}) (d_{1} + d_{2}) = 63$ .
3Центр сферы может лежать между плоскостями ( $d_{1} + d_{2} = 3$ ) или вне их ( $∣ d_{1} - d_{2} ∣ = 3$ ). В первом случае разность оказалась бы $63 : 3 = 21$ , а это больше суммы — невозможно, так как $d_{1} - d_{2} ⩽ d_{1} + d_{2}$ . Остаётся второй случай.
4Складываем и вычитаем $d_{1} - d_{2} = 3$ и $d_{1} + d_{2} = 21$ : $d_{1} = 12$ , $d_{2} = 9$ . Подставляем в любое равенство: $R^{2} = 81 + 144 = 225 = 144 + 81$ — совпало.
5Площадь сферы — $4 π R^{2}$ , радиус искать до конца не нужно: $4 π \cdot 225$ .

Частая ошибка. Решить только случай «плоскости по разные стороны от центра» и получить отрицательное расстояние.

Номер 393 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели