Номер 394 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Единственная общая точка двух сечений — это единственная общая точка прямой пересечения плоскостей и сферы, значит, эта прямая касается сферы. Дальше радиус сферы — диагональ прямоугольника со сторонами $r_1$ и $r_2$.

1. 1Окружности лежат в плоскостях $\alpha$, $\beta$ и на сфере. Любая их общая точка лежит на $l=\alpha \cap \beta$ и на сфере. Все точки пересечения $l$ со сферой принадлежат обеим окружностям, поэтому единственность общей точки означает: прямая $l$ имеет со сферой ровно одну общую точку, то есть касается сферы в $T$.
2. 2В плоскости $\alpha$ окружность касается прямой $l$ в $T$ (иначе у $l$ и сферы было бы вторая общая точка), поэтому $O_{1}T\perp l$; аналогично $O_{2}T\perp l$. Угол между этими радиусами — линейный угол двугранного угла между перпендикулярными плоскостями, значит, прямой.
3. 3Центр сферы проектируется на $\alpha$ в $O_1$ и на $\beta$ в $O_2$ (центры окружностей сечений). Три перпендикуляра образуют прямоугольник $T{O}_{1}O{O}_2$ со сторонами $r_1$ и $r_2$ и диагональю $OT=R$.
4. 4Диагональ прямоугольника: $R^2=r_1^2+r_2^2$.
5. 5Площадь сферы подставляем без извлечения корня.

Проверка. Координаты: $T(0;0;0)$, $l$ — ось $x$, $O(0;r_1;r_2)$. Тогда $O{T}^2=r_1^2+r_2^2$, а расстояния от $O$ до плоскостей $z=0$ и $y=0$ равны $r_2$ и $r_1$ — как и должно быть.