Номер 395 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 111, §3

№395. Докажите, что площадь полной поверхности цилиндра, полученного при вращении квадрата вокруг одной из его сторон, равна площади сферы, радиус которой равен стороне квадрата.

✎ Запись в тетрадь

Дано:

A BC D

— квадрат,

A B = a

; цилиндр от вращения вокруг

A B

; сфера радиуса

a

Доказать:

S_{цил} = S_{сферы}

Квадрат

A BC D

со стороной

a

вращается вокруг

A B

: ось —

A B

, высота

h = A B = a

, радиус основания

r = A D = a

S_{цил} = 2 π r h + 2 π r^{2} = 2 πa \cdot a + 2 π a^{2} = 4 π a^{2}

S_{сферы} = 4 π R^{2} = 4 π a^{2} (R = a)

S_{цил} = S_{сферы}

■

Ответ: доказано: обе площади равны

4 π a^{2}

Пояснение

Идея. Находим размеры цилиндра по квадрату: и высота, и радиус равны стороне. Площадь полной поверхности получается $4 π a^{2}$ — столько же, сколько у сферы радиуса $a$ .

1Сторона на оси — высота, перпендикулярная ей сторона — радиус основания. У квадрата все стороны равны $a$ , поэтому $h = r = a$ Осевое сечение такого цилиндра — прямоугольник $2 a \times a$ ..
2Полная поверхность — боковая и два основания: $2 πa \cdot a$ и $2 \cdot π a^{2}$ в сумме дают $4 π a^{2}$ .
3Площадь сферы радиуса $a$ по формуле — тоже $4 π a^{2}$ . Значит, площади равны.

Номер 395 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели