Номер 396 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

цилиндр

(r; h)

S_{осев} = S

; плоскость

⊥ O K

через середину

H

радиуса

O K

Найти:

S_{сеч}

Цилиндр, сечение плоскостью AA₁B₁B ∥ оси; H — середина радиуса OK, AB ⊥ OK

Осевое сечение — прямоугольник

2 r \times h

S = 2 r h

Плоскость

⊥ O K

в точке

H

O H = \frac{r}{2}

⇒ она параллельна оси; сечение — прямоугольник

A B B_{1} A_{1}

A A_{1} = h

A H = r^{2} - \frac{r ^{2}}{4} = \frac{r 3}{2}, A B = 2 A H = r 3

S_{сеч} = A B \cdot h = r 3 \cdot h = \frac{3}{2} \cdot 2 r h = \frac{3}{2} S

Ответ:

\frac{3}{2} S

Пояснение

Идея. Площадь любого сечения, параллельного оси, — это высота на длину хорды в основании. Хорду находим по расстоянию $\frac{r}{2}$ от центра, а $r h$ выражаем через данную площадь $S = 2 r h$ .

1Осевое сечение — прямоугольник с основанием $2 r$ (диаметр) и высотой $h$ (высота цилиндра).
2Плоскость перпендикулярна радиусу $O K$ основания, значит, она перпендикулярна плоскости основания и параллельна оси цилиндра. Её сечение — прямоугольник, высота которого равна высоте цилиндра. Расстояние от оси до плоскости равно $O H = \frac{r}{2}$ .
3Основание этого прямоугольника — хорда $A B$ , перпендикулярная $O K$ в точке $H$ . В прямоугольном треугольнике $O H A$ гипотенуза $O A = r$ , катет $O H = \frac{r}{2}$ : $A H = \frac{r 3}{2}$ . Центральный угол $A OB$ равен $12 0^{\circ}$ .
4 $r 3 \cdot h = \frac{3}{2} \cdot (2 r h)$ . Выражение в скобках — данная площадь $S$ .

Номер 396 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели