Номер 397 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Проектируем прямоугольник на плоскость нижнего основания: получается прямоугольник $AB{C}_1{D}_1$, вписанный в окружность основания. Его диагональ — диаметр, а стороны найдём по условию.

1. 1Опускаем из $C$ перпендикуляр $C{C}_1$ на плоскость нижнего основания: это отрезок образующей, $C{C}_1=a$. Угол между $BC$ и плоскостью — угол между $BC$ и её проекцией $B{C}_1$, то есть $\angle CB{C}_1=60^{\circ }$. Из прямоугольного треугольника $B{C}_{1}C$ находим катет $B{C}_1=a\mathrm{ctg}60^{\circ }$.
2. 2Катет, прилежащий к углу $60^{\circ }$, равен $\frac{a}{\sqrt{3}}$ (ведь $\mathrm{ctg}60^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}$).
3. 3$AB\perp BC$ (прямоугольник) и $AB\perp C{C}_1$ (образующая перпендикулярна основанию, а $AB$ лежит в нём). Значит, $AB\perp$ плоскости $BC{C}_1$, в частности $AB\perp B{C}_1$. Угол $AB{C}_1$ прямой.
4. 4Точки $A$, $B$, $C_1$ лежат на окружности основания (точка $C_1$ — на той же окружности, так как проекция точки боковой поверхности попадает на окружность основания). Прямой вписанный угол $AB{C}_1$ опирается на диаметр $A{C}_1$.
5. 5Диаметр — гипотенуза прямоугольного треугольника $AB{C}_1$ с катетами $a$ и $\frac{a}{\sqrt{3}}$: $\sqrt{a^2+\frac{a^2}{3}}=\sqrt{\frac{4a^2}{3}}$. Радиус — половина диаметра.