Номер 401 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

цилиндр;

S_{бок} = S_{круга}

, круг описан около осевого сечения

Найти:

r : h

Осевое сечение ABCD цилиндра и описанная около него окружность радиуса R

Осевое сечение — прямоугольник

2 r \times h

; описанная окружность имеет диаметр

A C

R = \frac{A C}{2} = \frac{4 r ^{2} + h ^{2}}{2}

S_{бок} = 2 π r h, S_{кр} = π R^{2} = \frac{π ( 4 r ^{2} + h ^{2} )}{4}

2 π r h = \frac{π ( 4 r ^{2} + h ^{2} )}{4} \Rightarrow 4 r^{2} - 8 r h + h^{2} = 0

Пусть

t = \frac{r}{h}

(делим на

h^{2}

):4

4 t^{2} - 8 t + 1 = 0 \Rightarrow t = \frac{8 \pm 48}{8} = \frac{2 \pm 3}{2}

Ответ:

\frac{2 \pm 3}{2}

Пояснение

Идея. Записываем обе площади через $r$ и $h$ , приравниваем и получаем уравнение, однородное относительно $r$ и $h$ . Делим на $h^{2}$ и решаем квадратное уравнение для $t = r / h$ .

1Прямоугольник вписан в окружность, поэтому его диагональ $A C$ — диаметр. Диагональ найдена по теореме Пифагора из сторон $2 r$ и $h$ .
2Площадь боковой поверхности цилиндра $2 π r h$ (п. 39), площадь круга $π R^{2}$ с найденным $R$ .
3Умножаем уравнение на $4$ и сокращаем $π$ . В левой части $8 r h$ , в правой $4 r^{2} + h^{2}$ .
4Каждое слагаемое содержит $r$ и $h$ суммарно во второй степени, значит, делением на $h^{2}$ остаётся одно неизвестное $t$ . Дискриминант $64 - 16 = 48$ , $48 = 43$ . Оба корня положительны, оба подходят.

Проверка. При $t = \frac{2 + 3}{2} \approx 1, 87$ цилиндр широкий и низкий, при $t \approx 0, 13$ — узкий и высокий; произведение корней равно $\frac{1}{4}$ .

Номер 401 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели