Номер 400 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

цилиндр; осевое сечение: а) квадрат; б)

A BC D

A B : A D = 1 : 2

Найти:

S_{полн} : S_{бок}

Цилиндр, осевое сечение — квадрат ABCD: AB = 2r, AD = h = 2r

Осевое сечение ABCD, AB = 2r — диаметр, AD = 4r — высота

Осевое сечение ABCD, AB = h — высота, AD = 2r — диаметр

Осевое сечение — прямоугольник со сторонами

2 r

h

S_{бок} = 2 π r h, S_{полн} = 2 π r h + 2 π r^{2} = 2 π r (h + r)

\frac{S _{полн}}{S _{бок}} = \frac{h + r}{h}

а) квадрат

h = 2 r

\frac{h + r}{h} = \frac{2 r + r}{2 r} = \frac{3}{2}

б)

A B : A D = 1 : 2

— два случая

A B = 2 r

A D = h = 4 r

\frac{h + r}{h} = \frac{4 r + r}{4 r} = \frac{5}{4}

A B = h

A D = 2 r = 2 h

, значит

h = r

\frac{h + r}{h} = \frac{r + r}{r} = 2

Ответ: а)

\frac{3}{2}

; б)

2

или

\frac{5}{4}

Пояснение

Идея. Обе площади содержат множитель $2 π r$ , поэтому отношение зависит только от $h$ и $r$ . Осталось связать $h$ с $r$ по виду осевого сечения.

1Осевое сечение цилиндра — прямоугольник: одна сторона — диаметр основания $2 r$ , другая — высота $h$ . Площадь боковой поверхности $2 π r h$ (п. 39), полная — плюс два основания $2 \cdot π r^{2}$ . Общий множитель $2 π r$ выносится.
2Делим: $2 π r (h + r)$ на $2 π r h$ . Дальше нужно знать только отношение $h$ к $r$ .
3Квадрат: стороны равны, $h = 2 r$ .
4Отношение сторон $1 : 2$ не говорит, какая сторона меньше. Если $A B$ — диаметр, то $A D = 2 A B = 4 r$ — это высота.
5Если $A B$ — высота, то диаметр $A D = 2 A B$ : $2 r = 2 h$ , откуда $h = r$ (цилиндр «приплюснут»).

Частая ошибка. Взять только один случай. Условие $A B : A D = 1 : 2$ даёт два разных цилиндра, поэтому в ответе два числа.

Номер 400 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели