Номер 399 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

прямоугольник со сторонами

a \neq = b

; цилиндры от вращения вокруг сторон,

S_{1}

S_{2}

— площади их полных поверхностей

Найти:

диагональ

d

прямоугольника

Стороны прямоугольника

a

b

, диагональ

d = a^{2} + b^{2}

S_{1} = 2 πb (b + a) (вокруг a), S_{2} = 2 πa (a + b) (вокруг b)

S_{1} + S_{2} = 2 π (a + b)^{2} \Rightarrow (a + b)^{2} = \frac{S _{1} + S _{2}}{2 π}

a^{2} + b^{2} = \frac{S _{1}^{2} + S _{2}^{2}}{4 π ^{2} ( a + b ) ^{2}} = \frac{S _{1}^{2} + S _{2}^{2}}{4 π ^{2}} \cdot \frac{2 π}{S _{1} + S _{2}}

d = \frac{S _{1}^{2} + S _{2}^{2}}{2 π ( S _{1} + S _{2} )}

Ответ:

\frac{S _{1}^{2} + S _{2}^{2}}{2 π ( S _{1} + S _{2} )}

Идея. Выражаем $S_{1}$ и $S_{2}$ через стороны, затем из них собираем $a^{2} + b^{2}$ , не находя $a$ и $b$ по отдельности.

1Диагональ прямоугольника по теореме Пифагора — $a^{2} + b^{2}$ . Нужно найти сумму квадратов сторон.
2При вращении вокруг стороны $a$ радиус основания равен $b$ , высота $a$ : $S_{1} = 2 πb (b + a)$ . Для второго цилиндра роли меняются. У обоих есть общий множитель $2 π (a + b)$ , поэтому $S_{1} = 2 π (a + b) \cdot b$ и $S_{2} = 2 π (a + b) \cdot a$ .
3Складываем: $S_{1} + S_{2} = 2 π (a + b) (a + b)$ . Отсюда $(a + b)^{2}$ выражается через данные.
4Из тех же равенств $b = \frac{S _{1}}{2 π ( a + b )}$ , $a = \frac{S _{2}}{2 π ( a + b )}$ , поэтому $a^{2} + b^{2} = \frac{S _{1}^{2} + S _{2}^{2}}{4 π ^{2} ( a + b ) ^{2}}$ . Подставляем $(a + b)^{2}$ из предыдущего шага.
5Упрощаем: $\frac{1}{4 π ^{2}} \cdot \frac{2 π}{S _{1} + S _{2}} = \frac{1}{2 π ( S _{1} + S _{2} )}$ . Извлекаем корень.

Проверка. Для $a = b = 1$ : $S_{1} = S_{2} = 4 π$ ; формула даёт $\frac{32 π ^{2}}{16 π ^{2}} = 2$ — диагональ единичного квадрата.