Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 112, Доп. задачи
№398. Докажите, что если плоскость параллельна оси цилиндра и расстояние между этой плоскостью и осью равно радиусу цилиндра, то плоскость содержит образующую цилиндра, и притом только одну. (В этом случае плоскость называется касательной плоскостью к цилиндру.)
✎ Запись в тетрадь
Дано:цилиндр (r;h), ось OO1; плоскость α∥OO1, ρ(OO1,α)=r
Доказать:α содержит ровно одну образующую
α∥OO1,
ρ(OO1,α)=r. Основание цилиндра лежит в плоскости
β⊥OO1;
α⊥β (содержит прямую, параллельную
OO1).
1 α∩β=l;
ρ(O,l)=ρ(OO1,α)=r ⇒ прямая
l касается окружности основания в точке
A.
2 Тогда образующая
AA1∥OO1 проходит через
A∈α ⇒
AA1⊂α.
3Другая образующая
XX1 лежит в
α ⇒
X∈l,
X на окружности ⇒
X=A. Образующая одна.
■4Ответ: доказано.
Пояснение
Идея. Плоскость, параллельная оси, строится из вертикальных прямых над некоторой прямой l в плоскости основания. Всё сводится к плоской задаче: прямая l на расстоянии r от центра касается окружности основания, а значит, имеет с ней одну общую точку.
- 1Плоскость α, параллельная оси, перпендикулярна основанию (основание перпендикулярно оси). Поэтому α пересекает плоскость основания по прямой l, а любая прямая, параллельная оси и проходящая через точку l, лежит в α.
- 2Расстояние от оси до плоскости равно расстоянию от точки O до прямой l в плоскости основания (перпендикуляр из O на l лежит в плоскости основания и перпендикулярен α). Оно равно r, значит, l — касательная к окружности основания, A — точка касания.
- 3Образующая AA1 параллельна оси и проходит через точку A прямой l, поэтому лежит в плоскости α.
- 4Любая образующая, лежащая в α, проходит через точку основания, принадлежащую и l (общая линия плоскостей), и окружности. Касательная имеет с окружностью единственную общую точку A. Поэтому образующая только одна.
