Номер 402 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

цилиндр; периметр осевого сечения

2 p

;

S_{бок} \to max

Найти:

h

r

Осевое сечение ABCD цилиндра: AB = 2r, AD = h

P_{A BC D} = 2 (2 r + h) = 2 p \Rightarrow h = p - 2 r

S_{бок} = 2 π r h = 2 π r (p - 2 r) = - 4 π r^{2} + 2 π p r

Парабола с ветвями вниз; наибольшее значение — в вершине:3

r = \frac{2 π p}{2 \cdot 4 π} = \frac{p}{4}

h = p - 2 r = p - \frac{p}{2} = \frac{p}{2}

Ответ:

h = \frac{p}{2}

r = \frac{p}{4}

Пояснение

Идея. Периметр сечения связывает $h$ и $r$ . После подстановки площадь боковой поверхности становится квадратным трёхчленом от $r$ — ищем его наибольшее значение.

1Осевое сечение — прямоугольник со сторонами $2 r$ и $h$ . Делим периметр пополам: $2 r + h = p$ , выражаем $h$ .
2Площадь боковой поверхности $2 π r h$ (п. 39). Подставляем $h$ и раскрываем скобки: получился квадратный трёхчлен по $r$ .
3Старший коэффициент $- 4 π < 0$ , значит, наибольшее значение достигается в вершине параболы $r_{0} = - \frac{b}{2 a}$ .
4Находим $h$ из первого равенства. Осевое сечение при этом — квадрат: $2 r = h = \frac{p}{2}$ .

Проверка. Вместо параболы можно взять неравенство о среднем: $2 r + h = p$ , поэтому $2 r \cdot h ⩽ (\frac{p}{2})^{2}$ , равенство при $2 r = h$ .

Номер 402 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели