Номер 1019 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Найдите значение выражения:

а) $(y + 5)(y^2 - 5y + 25) - y(y^2 + 3)$ при $y = -2$ ;
б) $x(x + 3)^2 - (x - 1)(x^2 + x + 1)$ при $x = -4$ ;
в) $(2p - 1)(4p^2 + 2p + 1) - p(p - 1)(p + 1)$ при $p = 1,5$ .

Краткое решение

\text{а) } (y + 5)(y^2 - 5y + 25) - y(y^2 + 3) = y^3 + 125 - y^3 - 3y = 125 - 3y.

\text{При } y = -2: 125 - 3 \cdot (-2) = 125 + 6 = 131.

\text{б) } x(x + 3)^2 - (x - 1)(x^2 + x + 1) = x(x^2 + 6x + 9) - (x^3 - 1) = x^3 + 6x^2 + 9x - x^3 + 1 = 6x^2 + 9x + 1.

\text{При } x = -4: 6 \cdot (-4)^2 + 9 \cdot (-4) + 1 = 96 - 36 + 1 = 61.

\text{в) } (2p - 1)(4p^2 + 2p + 1) - p(p - 1)(p + 1) = (8p^3 - 1) - p(p^2 - 1) = 8p^3 - 1 - p^3 + p = 7p^3 + p - 1.

\text{При } p = 1,5: 7 \cdot (1,5)^3 + 1,5 - 1 = 7 \cdot 3,375 + 0,5 = 23,625 + 0,5 = 24,125.

Подробное решение

📚 Теория: Формулы суммы и разности кубов

Для упрощения используются формулы:
1. Сумма кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$ .
2. Разность кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$ .
3. Квадрат суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ .

Пункт а)

1. Первые две скобки сворачиваются в сумму кубов: $y^3 + 5^3 = y^3 + 125$ .

2. Раскрываем вторую часть выражения: $-y \cdot y^2 - y \cdot 3 = -y^3 - 3y$ .

3. Упрощаем: $y^3 + 125 - y^3 - 3y = 125 - 3y$ .

4. Подставляем $y = -2$ : $125 - 3 \cdot (-2) = 125 + 6 = 131$ .

Пункт б)

1. Раскрываем квадрат суммы: $x(x^2 + 6x + 9) = x^3 + 6x^2 + 9x$ .

2. Вторая часть — это разность кубов: $(x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 1$ .

3. Вычитаем: $x^3 + 6x^2 + 9x - (x^3 - 1) = x^3 + 6x^2 + 9x - x^3 + 1 = 6x^2 + 9x + 1$ .

4. Подставляем $x = -4$ : $6 \cdot (-4)^2 + 9 \cdot (-4) + 1 = 6 \cdot 16 - 36 + 1 = 96 - 36 + 1 = 61$ .

Пункт в)

1. Первая часть сворачивается в разность кубов: $(2p)^3 - 1^3 = 8p^3 - 1$ .

2. Вторая часть — разность квадратов, умноженная на $p$ : $p(p^2 - 1) = p^3 - p$ .

3. Упрощаем: $8p^3 - 1 - (p^3 - p) = 8p^3 - 1 - p^3 + p = 7p^3 + p - 1$ .

4. Подставляем $p = 1,5$ : $7 \cdot 1,5^3 + 1,5 - 1 = 7 \cdot 3,375 + 0,5 = 23,625 + 0,5 = 24,125$ .