В книге Леонарда Эйлера (XVIII в.) используется тождество:
( p 2 + c q 2 ) ( r 2 + c s 2 ) = ( p r + c q s ) 2 + c ( p s − q r ) 2 (p^2 + cq^2)(r^2 + cs^2) = (pr + cqs)^2 + c(ps - qr)^2 ( p 2 + c q 2 ) ( r 2 + c s 2 ) = ( p r + c q s ) 2 + c ( p s − q r ) 2 Докажите его.
Краткое решение ( p 2 + c q 2 ) ( r 2 + c s 2 ) = ( p r + c q s ) 2 + c ( p s − q r ) 2 (p^2 + cq^2) (r^2 + cs^2) = (pr + cqs)^2 + c (ps - qr)^2 ( p 2 + c q 2 ) ( r 2 + c s 2 ) = ( p r + c q s ) 2 + c ( p s − q r ) 2 p 2 r 2 + c p 2 s 2 + c q 2 r 2 + c 2 q 2 s 2 = p 2 r 2 + 2 c p r q s + c 2 q 2 s 2 + c ( p 2 s 2 − 2 p s q r + q 2 r 2 ) p^2r^2 + cp^2s^2 + cq^2r^2 + c^2q^2s^2 = p^2r^2 + 2cprqs + c^2q^2s^2 + c(p^2s^2 - 2psqr + q^2r^2) p 2 r 2 + c p 2 s 2 + c q 2 r 2 + c 2 q 2 s 2 = p 2 r 2 + 2 c p r q s + c 2 q 2 s 2 + c ( p 2 s 2 − 2 p s q r + q 2 r 2 ) p 2 r 2 + c p 2 s 2 + c q 2 r 2 + c 2 q 2 s 2 = p 2 r 2 + 2 c p r q s + c 2 q 2 s 2 + c p 2 s 2 − 2 c p r q s + c q 2 r 2 p^2r^2 + cp^2s^2 + cq^2r^2 + c^2q^2s^2 = p^2r^2 + \cancel{2cprqs} + c^2q^2s^2 + cp^2s^2 - \cancel{2cprqs} + cq^2r^2 p 2 r 2 + c p 2 s 2 + c q 2 r 2 + c 2 q 2 s 2 = p 2 r 2 + 2 c p r q s + c 2 q 2 s 2 + c p 2 s 2 − 2 c p r q s + c q 2 r 2 p 2 r 2 + c p 2 s 2 + c q 2 r 2 + c 2 q 2 s 2 = p 2 r 2 + c p 2 s 2 + c q 2 r 2 + c 2 q 2 s 2 p^2r^2 + cp^2s^2 + cq^2r^2 + c^2q^2s^2 = p^2r^2 + cp^2s^2 + cq^2r^2 + c^2q^2s^2 p 2 r 2 + c p 2 s 2 + c q 2 r 2 + c 2 q 2 s 2 = p 2 r 2 + c p 2 s 2 + c q 2 r 2 + c 2 q 2 s 2 Подробное решение 📚 Теория: Доказательство тождеств Для доказательства тождества мы преобразуем левую и правую части выражения независимо друг от друга. Если результаты упрощения в обеих частях совпадают, тождество считается доказанным.
1. Преобразование левой части Выполним почленное умножение двух многочленов:
( p 2 + c q 2 ) ( r 2 + c s 2 ) = p 2 ⋅ r 2 + p 2 ⋅ c s 2 + c q 2 ⋅ r 2 + c q 2 ⋅ c s 2 = (p^2 + cq^2)(r^2 + cs^2) = p^2 \cdot r^2 + p^2 \cdot cs^2 + cq^2 \cdot r^2 + cq^2 \cdot cs^2 = ( p 2 + c q 2 ) ( r 2 + c s 2 ) = p 2 ⋅ r 2 + p 2 ⋅ c s 2 + c q 2 ⋅ r 2 + c q 2 ⋅ c s 2 = = p 2 r 2 + c p 2 s 2 + c q 2 r 2 + c 2 q 2 s 2 = p^2r^2 + cp^2s^2 + cq^2r^2 + c^2q^2s^2 = p 2 r 2 + c p 2 s 2 + c q 2 r 2 + c 2 q 2 s 2 2. Преобразование правой части Раскроем квадраты суммы и разности, затем умножим второе выражение на коэффициент c c c
( p r + c q s ) 2 + c ( p s − q r ) 2 = p 2 r 2 + 2 c p r q s + c 2 q 2 s 2 + c ( p 2 s 2 − 2 p s q r + q 2 r 2 ) = (pr + cqs)^2 + c(ps - qr)^2 = p^2r^2 + 2cprqs + c^2q^2s^2 + c(p^2s^2 - 2psqr + q^2r^2) = ( p r + c q s ) 2 + c ( p s − q r ) 2 = p 2 r 2 + 2 c p r q s + c 2 q 2 s 2 + c ( p 2 s 2 − 2 p s q r + q 2 r 2 ) = = p 2 r 2 + 2 c p r q s + c 2 q 2 s 2 + c p 2 s 2 − 2 c p q r s + c q 2 r 2 = p^2r^2 + 2cprqs + c^2q^2s^2 + cp^2s^2 - 2cpqrs + cq^2r^2 = p 2 r 2 + 2 c p r q s + c 2 q 2 s 2 + c p 2 s 2 − 2 c pq rs + c q 2 r 2 Удвоенные произведения 2 c p r q s 2cprqs 2 c p r q s − 2 c p q r s -2cpqrs − 2 c pq rs
p 2 r 2 + c 2 q 2 s 2 + c p 2 s 2 + c q 2 r 2 p^2r^2 + c^2q^2s^2 + cp^2s^2 + cq^2r^2 p 2 r 2 + c 2 q 2 s 2 + c p 2 s 2 + c q 2 r 2 3. Сравнение результатов Левая часть: p 2 r 2 + c p 2 s 2 + c q 2 r 2 + c 2 q 2 s 2 p^2r^2 + cp^2s^2 + cq^2r^2 + c^2q^2s^2 p 2 r 2 + c p 2 s 2 + c q 2 r 2 + c 2 q 2 s 2
Правая часть: p 2 r 2 + c 2 q 2 s 2 + c p 2 s 2 + c q 2 r 2 p^2r^2 + c^2q^2s^2 + cp^2s^2 + cq^2r^2 p 2 r 2 + c 2 q 2 s 2 + c p 2 s 2 + c q 2 r 2
Так как левая и правая части тождественно равны, утверждение доказано.
