Номер 1022 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

При каком значении $b$ многочлен стандартного вида, тождественно равный произведению $(x^2 - 10x + 6)(2x + b)$ :

а) не содержит $x^2$ ;
б) имеет равные коэффициенты при $x^3$ и при $x$ ?

Краткое решение

(x^2 - 10x + 6)(2x + b) = 2x^3 + bx^2 - 20x^2 - 10bx + 12x + 6b = 2x^3 + (b - 20)x^2 + (12 - 10b)x + 6b

\text{а) } b - 20 = 0 \implies b = 20

\text{б) } 12 - 10b = 2 \implies -10b = -10 \implies b = 1

Подробное решение

📚 Теория: Коэффициенты многочлена

При раскрытии скобок важно привести многочлен к стандартному виду, сгруппировав слагаемые с одинаковыми степенями $x$ . Это позволяет легко найти и сравнить коэффициенты.

1. Раскрытие скобок

Перемножим трехчлен на двучлен:

(x^2 - 10x + 6)(2x + b) = 2x^3 + bx^2 - 20x^2 - 10bx + 12x + 6b

Приведем подобные слагаемые:

2x^3 + (b - 20)x^2 + (12 - 10b)x + 6b

2. Решение пункта а)

Чтобы многочлен не содержал $x^2$ , коэффициент при $x^2$ должен быть равен $0$ :

b - 20 = 0 \implies b = 20

3. Решение пункта б)

Найдем коэффициенты:

Коэффициент при $x^3$ равен $2$ .
Коэффициент при $x$ равен $12 - 10b$ .

По условию они должны быть равны:

12 - 10b = 2

-10b = 2 - 12

-10b = -10 \implies b = 1