Главная / 7 класс / Алгебра Макарычев / Номер 1024

Номер 1024 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что число, равное разности 111 111−222111\,111 - 222, является квадратом натурального числа.

Краткое решение

111 111−222=110 889111\,111 - 222 = 110\,889
3332=110 889333^2 = 110\,889
110 889=3332110\,889 = 333^2

Подробное решение

📚 Теория: Полный квадрат

Число является квадратом натурального числа, если его можно представить в виде n2n^2, где n∈Nn \in \mathbf{N}.

Способ 1: Прямое вычисление

1. Найдем разность заданных чисел:

111 111−222=110 889111\,111 - 222 = 110\,889

2. Проверим, является ли это число квадратом. Для этого можно извлечь корень или выполнить разложение на множители. Заметим, что число оканчивается на 99, значит основание может оканчиваться на 33 или 77. Проверим 333333:

333⋅333=110 889333 \cdot 333 = 110\,889

Следовательно, 110 889=3332110\,889 = 333^2.

Способ 2: Алгебраический (более изящный)

Представим числа через 111111:

111 111−222=111⋅1001−111⋅2=111(1001−2)=111⋅999111\,111 - 222 = 111 \cdot 1001 - 111 \cdot 2 = 111(1001 - 2) = 111 \cdot 999

Теперь разложим 999999 как 111⋅9111 \cdot 9:

111⋅(111⋅9)=1112⋅32=(111⋅3)2=3332111 \cdot (111 \cdot 9) = 111^2 \cdot 3^2 = (111 \cdot 3)^2 = 333^2

Так как 333333 — натуральное число, утверждение доказано.

💡 Похожие задачи

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...