Преобразуйте в произведение:
а) 3a3−3ab2+a2b−b3;
в) 3p−2c3−3c3p+2;
б) 2x−a2y−2a2x+y;
г) a4−24+8a−3a3.
Краткое решение
а) 3a3−3ab2+a2b−b3=3a(a2−b2)+b(a2−b2)=(a2−b2)(3a+b)=(a−b)(a+b)(3a+b) б) 2x−a2y−2a2x+y=(2x+y)−(a2y+2a2x)=(2x+y)(1−a2)=(2x+y)(1−a)(1+a) в) 3p−2c3−3c3p+2=(3p+2)−(2c3+3c3p)=(3p+2)(1−c3)=(3p+2)(1−c)(1+c+c2) г) a4−24+8a−3a3=(a4−3a3)+(8a−24)=a3(a−3)+8(a−3)=(a−3)(a+2)(a2−2a+4) Подробное решение
📚 Теория: Комбинированное разложение
Для решения задания применяется последовательность методов:
1. Группировка слагаемых: выделение пар с общим множителем.
2. Формулы сокращенного умножения: разность квадратов a2−b2 или сумма/разность кубов a3±b3.
Решение пункта а)
Группируем слагаемые с коэффициентом 3 и без него:
3a(a2−b2)+b(a2−b2)=(a2−b2)(3a+b) Применяем формулу разности квадратов:
(a−b)(a+b)(3a+b) Решение пункта б)
Сгруппируем 2x+y и вынесем −a2 из остальных слагаемых:
(2x+y)−a2(y+2x)=(2x+y)(1−a2) Разложим скобку с a2:
(2x+y)(1−a)(1+a) Решение пункта в)
Сгруппируем пары так, чтобы получить общую скобку (3p+2):
(3p+2)−(2c3+3c3p)=(3p+2)−c3(2+3p)=(3p+2)(1−c3) Используем формулу разности кубов для 1−c3:
(3p+2)(1−c)(1+c+c2) Решение пункта г)
Переставим слагаемые для удобной группировки:
(a4−3a3)+(8a−24)=a3(a−3)+8(a−3)=(a−3)(a3+8) Разложим a3+8 как сумму кубов a3+23:
(a−3)(a+2)(a2−2a+4) 