Номер 1029 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарыchev

Решите уравнение:

а) $x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0$ ;

в) $y^3 - 6y^2 = 6 - y$ ;

б) $2m^3 - m^2 - 18m + 9 = 0$ ;

г) $2a^3 + 3a^2 = 2a + 3$ .

Краткое решение

\text{а) } x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0 \implies x^2(x + 3) - 4(x + 3) = 0 \implies (x + 3)(x - 2)(x + 2) = 0 \implies x = -3; \pm 2

\text{б) } 2m^3 - m^2 - 18m + 9 = 0 \implies m^2(2m - 1) - 9(2m - 1) = 0 \implies (2m - 1)(m - 3)(m + 3) = 0 \implies m = 0,5; \pm 3

\text{в) } y^3 - 6y^2 + y - 6 = 0 \implies y^2(y - 6) + (y - 6) = 0 \implies (y - 6)(y^2 + 1) = 0 \implies y = 6

\text{г) } 2a^3 + 3a^2 - 2a - 3 = 0 \implies a^2(2a + 3) - (2a + 3) = 0 \implies (2a + 3)(a - 1)(a + 1) = 0 \implies a = -1,5; \pm 1

Подробное решение

📚 Теория: Решение методом группировки

Для решения уравнений такого типа:
1. Перенесите все слагаемые в левую часть, чтобы справа остался нуль.
2. Разложите левую часть на множители (обычно через группировку).
3. Используйте свойство: произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Решение пункта а)

Сгруппируем слагаемые попарно:

(x^3 + 3x^2) - (4x + 12) = 0

x^2(x + 3) - 4(x + 3) = 0

(x + 3)(x^2 - 4) = 0

Разложим разность квадратов:

(x + 3)(x - 2)(x + 2) = 0

Корни уравнения: $x_1 = -3, x_2 = 2, x_3 = -2$ .

Решение пункта б)

Вынесем $m^2$ из первой пары и $9$ из второй:

m^2(2m - 1) - 9(2m - 1) = 0

(2m - 1)(m^2 - 9) = 0

(2m - 1)(m - 3)(m + 3) = 0

Ответ: $m = 0,5; m = 3; m = -3$ .

Решение пункта в)

Перенесем всё влево: $y^3 - 6y^2 + y - 6 = 0$ .

y^2(y - 6) + 1(y - 6) = 0

(y - 6)(y^2 + 1) = 0

Так как $y^2 + 1$ всегда больше нуля, то $y - 6 = 0$ .

Корень: $y = 6$ .

Решение пункта г)

Перенесем слагаемые: $2a^3 + 3a^2 - 2a - 3 = 0$ .

a^2(2a + 3) - 1(2a + 3) = 0

(2a + 3)(a^2 - 1) = 0

Корни: $a = -1,5; a = 1; a = -1$ .