Главная / 7 класс / Алгебра Макарычев / Номер 1224

Номер 1224 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Разложите на множители многочлен:

а) x8+x4−2;x^8 + x^4 - 2; б) a5−a2−a−1;a^5 - a^2 - a - 1; в) n4+4;n^4 + 4; г) n4+n2+1.n^4 + n^2 + 1.

Краткое решение

а) x8+x4−2=x^8 + x^4 - 2 =

=x8+x4−1−1== x^8 + x^4 - 1 - 1 =
=(x8−1)+(x4−1)== (x^8 - 1) + (x^4 - 1) =
=((x4)2−12)+(x4−1)== ((x^4)^2 - 1^2) + (x^4 - 1) =
=(x4−1)(x4+1)+(x4−1)== (x^4 - 1)(x^4 + 1) + (x^4 - 1) =
=(x4−1)(x4+1+1)== (x^4 - 1)(x^4 + 1 + 1) =
=((x2)2−12)(x4+2)== ((x^2)^2 - 1^2)(x^4 + 2) =
=(x2−1)(x2+1)(x4+2)== (x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 2) =
=(x−1)(x+1)(x2+1)(x4+2).= (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 2).

б) a5−a2−a−1=a^5 - a^2 - a - 1 =

=(a5−a)−(a2+1)== (a^5 - a) - (a^2 + 1) =
=a(a4−1)−(a2+1)== a(a^4 - 1) - (a^2 + 1) =
=a(a2−1)(a2+1)−1⋅(a2+1)== a(a^2 - 1)(a^2 + 1) - 1 \cdot (a^2 + 1) =
=(a2+1)(a(a2−1)−1)== (a^2 + 1)(a(a^2 - 1) - 1) =
=(a2+1)(a3−a−1).= (a^2 + 1)(a^3 - a - 1).

в) n4+4=n4+4n2+4−4n2=n^4 + 4 = n^4 + 4n^2 + 4 - 4n^2 =

=(n2+2)2−(2n)2== (n^2 + 2)^2 - (2n)^2 =
=(n2+2−2n)(n2+2+2n).= (n^2 + 2 - 2n)(n^2 + 2 + 2n).

г) n4+n2+1=n^4 + n^2 + 1 =

=n4+n2+1+n2−n2== n^4 + n^2 + 1 + n^2 - n^2 =
=n4+2n2+1−n2== n^4 + 2n^2 + 1 - n^2 =
=(n2+1)2−n2== (n^2 + 1)^2 - n^2 =
=(n2+1−n)(n2+1+n).= (n^2 + 1 - n)(n^2 + 1 + n).

Подробное решение

📚 Теория: Основные методы разложения

Для решения задач на разложение многочленов используются:

  • Метод группировки слагаемых.
  • Формула разности квадратов: a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).
  • Метод дополнения до полного квадрата (искусственный прием добавления и вычитания одного и того же члена).

Разберем подробнее каждый пример, основываясь на методах, примененных в решении.

Пример а)

В выражении x8+x4−2x^8 + x^4 - 2 число −2-2 раскладывается как −1−1-1 - 1. Это позволяет сгруппировать слагаемые в две разности и применить формулу разности квадратов несколько раз, пока не получим линейные множители там, где это возможно.

Пример б)

Здесь применяется группировка: a5−aa^5 - a и −(a2+1)-(a^2 + 1). После вынесения общего множителя aa из первой группы и разложения a4−1a^4 - 1, появляется общий множитель (a2+1)(a^2 + 1), который выносится за скобку.

Примеры в) и г)

В данных примерах используется метод «дополнения до полного квадрата». Мы добавляем слагаемое, необходимое для формулы (a+b)2(a + b)^2, и тут же вычитаем его, чтобы сохранить равенство. Это превращает многочлен в разность квадратов.

💡 Похожие задачи

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...