Номер 1225 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Для доказательства используем формулу разности квадратов и свойства делимости чисел.

1. Разложение на множители

2. Доказательство делимости на 8

Так как $p$ — простое число и $p > 3$, оно нечётно. Следовательно, числа $p - 1$ и $p + 1$ являются последовательными чётными числами. Одно из них обязательно делится на 2, а другое — на 4. Их произведение делится на $2 \cdot 4 = 8$.

3. Доказательство делимости на 3

Рассмотрим три последовательных целых числа: $p - 1$, $p$, $p + 1$. Одно из них должно делиться на 3. Поскольку $p$ — простое число большее 3, оно на 3 не делится. Значит, на 3 делится либо $p - 1$, либо $p + 1$.

4. Итоговый вывод

Выражение $p^2 - 1$ делится на 8 и на 3. Поскольку числа 8 и 3 взаимно простые, произведение $(p - 1)(p + 1)$ делится на $8 \cdot 3 = 24$. Доказано.