Номер 1226 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

📚 Теория: Куб суммы и делимость

Формула куба суммы двух выражений:

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Произведение двух последовательных натуральных чисел $n(n+1)$ всегда является чётным числом.

Рассмотрим два последовательных натуральных числа $n$ и $n + 1$ .

1. Составление выражения разности кубов

Запишем разность куба большего и куба меньшего числа:

(n + 1)^3 - n^3

2. Преобразование выражения

Используем формулу куба суммы для раскрытия скобок:

n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1

Вынесем общий множитель $3n$ за скобки для первых двух слагаемых:

3n(n + 1) + 1

3. Анализ делимости

В выражении $3n(n + 1) + 1$ слагаемое $n(n + 1)$ является произведением двух последовательных натуральных чисел, поэтому одно из них обязательно чётное. Значит, $n(n + 1)$ делится на 2.

Следовательно, произведение $3 \cdot n(n + 1)$ делится на $3 \cdot 2 = 6$ .

4. Нахождение остатка

Так как число $3n(n + 1)$ кратно 6, его можно представить как $6k$ , где $k$ — натуральное число. Тогда всё выражение имеет вид $6k + 1$ . Число 1 и является остатком от деления на 6. Утверждение доказано.

💡 Похожие задачи

Номер 1225