Номер 1227 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.

Краткое решение

Пусть пять последовательных натуральных чисел:

$(n - 2), (n - 1), n, (n + 1), (n + 2)$ .

(n - 2)^2 + (n - 1)^2 + n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2 =

= (n^2 - 4n + 4) + (n^2 - 2n + 1) + n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4) =

= 5n^2 + 10 = 5(n^2 + 2)

Предположим, что $5(n^2 + 2) = k^2$ . Тогда $k^2$ делится на 5, а значит и $k$ делится на 5. Пусть $k = 5t$ . Тогда:

25t^2 = 5(n^2 + 2) \quad / : 5

5t^2 = n^2 + 2

Проанализируем остатки $n^2 + 2$ при делении на 5:

Если $n$ делится на 5, то $n^2 + 2$ при делении на 5 даёт в остатке 2.
Если $n$ при делении на 5 даёт в остатке 1 или 4, то $n^2$ при делении на 5 даёт в остатке 1, и тогда $n^2 + 2$ даёт остаток 3.
Если $n$ при делении на 5 даёт в остатке 2 или 3, то $n^2$ даёт в остатке 4, и тогда $n^2 + 2$ даёт остаток 1, так как $4 + 2 = 6$ и $6 : 5 = 1$ (ост. 1).

$n^2 + 2$ никогда не делится на 5, поэтому равенство $5t^2 = n^2 + 2$ невозможно. Следовательно, исходное предположение ложно.

Что и требовалось доказать.

Подробное решение

📚 Теория: Квадраты и делимость

Для доказательства невозможности существования полного квадрата часто используется метод анализа остатков от деления.

Если число $A$ делится на простое число $p$ , но является полным квадратом, то оно должно делиться и на $p^2$ .

Запишем пять последовательных натуральных чисел, используя симметричное обозначение относительно среднего числа $n$ :

(n-2), (n-1), n, (n+1), (n+2)

1. Преобразование суммы квадратов

Найдем сумму квадратов этих чисел:

S = (n-2)^2 + (n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получаем выражение:

S = 5n^2 + 10 = 5(n^2 + 2)

2. Доказательство от противного

Допустим, что эта сумма равна некоторому квадрату $k^2$ . Тогда выражение $5(n^2 + 2)$ должно делиться на 25. Это возможно только в том случае, если множитель $(n^2 + 2)$ делится на 5.

Однако анализ остатков квадратов натуральных чисел при делении на 5 показывает:

Квадрат числа может давать только остатки 0, 1 или 4 при делении на 5.
Соответственно, выражение $n^2 + 2$ может иметь остатки 2 (0+2), 3 (1+2) или 1 (4+2).
Ни один из этих остатков не равен 0, значит $n^2 + 2$ не кратно 5.

Следовательно, сумма квадратов пяти последовательных чисел не может быть квадратом натурального числа. Доказано.