Номер 1228 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Краткое решение

Пусть натуральное число $n$ не делится на 3. При делении на 3 остаток может быть только 1 или 2.

1) Если при делении на 3 число $n$ даёт остаток 1, то $n = 3k + 1$ . Тогда:

n^2 - 1 = (3k + 1)^2 - 1 =

= 9k^2 + 6k + 1 - 1 =

= 9k^2 + 6k =

= 3(3k^2 + 2k) \text{ - кратно 3.}

2) Если при делении на 3 число $n$ даёт остаток 2, то $n = 3k + 2$ . Тогда:

n^2 - 1 = (3k + 2)^2 - 1 =

= 9k^2 + 12k + 4 - 1 =

= 9k^2 + 12k + 3 =

= 3(3k^2 + 4k + 1) \text{ - кратно 3.}

Что и требовалось доказать.

Подробное решение

📚 Теория: Остатки от деления на 3

Любое натуральное число $n$ при делении на 3 может давать остаток 0 (делится нацело), 1 или 2.

Если число не кратно 3, то его можно записать в виде $3k + 1$ или $3k + 2$ . Квадрат такого числа всегда дает остаток 1 при делении на 3, поэтому разность $n^2 - 1$ всегда делится на 3.

Докажем утверждение, рассмотрев все возможные виды натуральных чисел, не кратных 3.

Анализ остатков

Любое натуральное число, не делящееся на 3, при возведении в квадрат дает остаток 1 при делении на 3. Проверим это аналитически:

Случай 1: Число вида 3k + 1

При возведении в квадрат получим:

(3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1

Разность с единицей: $9k^2 + 6k = 3(3k^2 + 2k)$ . Это выражение кратно 3.

Случай 2: Число вида 3k + 2

При возведении в квадрат получим:

(3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4

Разность с единицей: $9k^2 + 12k + 4 - 1 = 9k^2 + 12k + 3 = 3(3k^2 + 4k + 1)$ . Полученное число также делится на 3 без остатка.

Вывод: для любого натурального числа, не кратного 3, разность его квадрата и единицы делится на 3.

💡 Похожие задачи

Номер 1227