Разложите на множители многочлен:
а)
a3−2a2+2a−4;
д)
a2b−b2c+a2c−bc2;
б)
x3−12+6x2−2x;
е)
2x3+xy2−2x2y−y3;
в)
c4−2c2+c3−2c;
ж)
16ab2−10c3+32ac2−5b2c;
г)
−y6−y5+y4+y3;
з)
6a3−21a2b+2ab2−7b3.
Краткое решение
а)a3−2a2+2a−4= =(a3−2a2)+(2a−4)= =a2(a−2)+2(a−2)= =(a2+2)(a−2). б)x3+6x2−2x−12= =(x3+6x2)−(2x+12)= =x2(x+6)−2(x+6)= =(x2−2)(x+6). в)c4+c3−2c2−2c= =(c4+c3)−(2c2+2c)= =c3(c+1)−2c(c+1)= =(c3−2c)(c+1)= =c(c2−2)(c+1). г)−y6−y5+y4+y3= =−(y6+y5)+(y4+y3)= =−y5(y+1)+y3(y+1)= =(−y5+y3)(y+1)= =−y3(y2−1)(y+1)= =−y3(y−1)(y+1)2. д)a2b+a2c−b2c−bc2= =(a2b+a2c)−(b2c+bc2)= =a2(b+c)−bc(b+c)= =(a2−bc)(b+c). е)2x3−2x2y+xy2−y3= =(2x3−2x2y)+(xy2−y3)= =2x2(x−y)+y2(x−y)= =(2x2+y2)(x−y). ж)16ab2−5b2c+32ac2−10c3= =(16ab2−5b2c)+(32ac2−10c3)= =b2(16a−5c)+2c2(16a−5c)= =(b2+2c2)(16a−5c). з)6a3−21a2b+2ab2−7b3= =(6a3−21a2b)+(2ab2−7b3)= =3a2(2a−7b)+b2(2a−7b)= =(3a2+b2)(2a−7b). Подробное решение
📚 Теория: Метод группировки
Если многочлен не имеет общего множителя для всех своих членов, его можно разложить на множители, объединяя слагаемые в группы.
1. Сгруппируйте слагаемые так, чтобы в каждой группе был общий множитель.
2. Вынесите общие множители из каждой группы за скобки.
3. Если в скобках получились одинаковые выражения, вынесите этот новый общий множитель.
Подробный разбор решения
Шаг 1: Группировка слагаемых
Для того чтобы разложить многочлен на множители методом группировки, необходимо объединить слагаемые в такие пары, из которых можно вынести общий множитель. Например, в пункте б) мы объединяем x3 с 6x2, а −2x с −12.
Шаг 2: Вынесение общих множителей внутри групп
В каждой группе находим и выносим за скобки общий буквенный или числовой множитель. В пункте ж) из первой пары (16ab2−5b2c) выносим b2, а из второй (32ac2−10c3) выносим 2c2. Это делается для того, чтобы в скобках осталось одно и то же выражение — в данном случае (16a−5c).
Шаг 3: Вынесение общего многочлена
Когда мы получили одинаковые выражения в скобках, мы рассматриваем всю скобку как новый общий множитель. Вынося его вперед, мы получаем произведение двух многочленов, что и является целью разложения.
