Номер 807 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Разложите на множители многочлен:

а)

a^3 - 2a^2 + 2a - 4

;

д)

a^2b - b^2c + a^2c - bc^2

;

б)

x^3 - 12 + 6x^2 - 2x

;

е)

2x^3 + xy^2 - 2x^2y - y^3

;

в)

c^4 - 2c^2 + c^3 - 2c

;

ж)

16ab^2 - 10c^3 + 32ac^2 - 5b^2c

;

г)

-y^6 - y^5 + y^4 + y^3

;

з)

6a^3 - 21a^2b + 2ab^2 - 7b^3

Краткое решение

а)

a^3 - 2a^2 + 2a - 4 =

= (a^3 - 2a^2) + (2a - 4) =

= a^2(a - 2) + 2(a - 2) =

= (a^2 + 2)(a - 2).

б)

x^3 + 6x^2 - 2x - 12 =

= (x^3 + 6x^2) - (2x + 12) =

= x^2(x + 6) - 2(x + 6) =

= (x^2 - 2)(x + 6).

в)

c^4 + c^3 - 2c^2 - 2c =

= (c^4 + c^3) - (2c^2 + 2c) =

= c^3(c + 1) - 2c(c + 1) =

= (c^3 - 2c)(c + 1) =

= c(c^2 - 2)(c + 1).

г)

-y^6 - y^5 + y^4 + y^3 =

= -(y^6 + y^5) + (y^4 + y^3) =

= -y^5(y + 1) + y^3(y + 1) =

= (-y^5 + y^3)(y + 1) =

= -y^3(y^2 - 1)(y + 1) =

= -y^3(y - 1)(y + 1)^2.

д)

a^2b + a^2c - b^2c - bc^2 =

= (a^2b + a^2c) - (b^2c + bc^2) =

= a^2(b + c) - bc(b + c) =

= (a^2 - bc)(b + c).

е)

2x^3 - 2x^2y + xy^2 - y^3 =

= (2x^3 - 2x^2y) + (xy^2 - y^3) =

= 2x^2(x - y) + y^2(x - y) =

= (2x^2 + y^2)(x - y).

ж)

16ab^2 - 5b^2c + 32ac^2 - 10c^3 =

= (16ab^2 - 5b^2c) + (32ac^2 - 10c^3) =

= b^2(16a - 5c) + 2c^2(16a - 5c) =

= (b^2 + 2c^2)(16a - 5c).

з)

6a^3 - 21a^2b + 2ab^2 - 7b^3 =

= (6a^3 - 21a^2b) + (2ab^2 - 7b^3) =

= 3a^2(2a - 7b) + b^2(2a - 7b) =

= (3a^2 + b^2)(2a - 7b).

Подробное решение

📚 Теория: Метод группировки

Если многочлен не имеет общего множителя для всех своих членов, его можно разложить на множители, объединяя слагаемые в группы.
1. Сгруппируйте слагаемые так, чтобы в каждой группе был общий множитель.
2. Вынесите общие множители из каждой группы за скобки.
3. Если в скобках получились одинаковые выражения, вынесите этот новый общий множитель.

Подробный разбор решения

Шаг 1: Группировка слагаемых

Для того чтобы разложить многочлен на множители методом группировки, необходимо объединить слагаемые в такие пары, из которых можно вынести общий множитель. Например, в пункте б) мы объединяем $x^3$ с $6x^2$ , а $-2x$ с $-12$ .

Шаг 2: Вынесение общих множителей внутри групп

В каждой группе находим и выносим за скобки общий буквенный или числовой множитель. В пункте ж) из первой пары $(16ab^2 - 5b^2c)$ выносим $b^2$ , а из второй $(32ac^2 - 10c^3)$ выносим $2c^2$ . Это делается для того, чтобы в скобках осталось одно и то же выражение — в данном случае $(16a - 5c)$ .

Шаг 3: Вынесение общего многочлена

Когда мы получили одинаковые выражения в скобках, мы рассматриваем всю скобку как новый общий множитель. Вынося его вперед, мы получаем произведение двух многочленов, что и является целью разложения.