Из выражений (y−x)2, (y+x)2, (−y+x)2, (−x+y)2, (−x−y)2 выберите те, которые тождественно равны выражению:
- а) (x+y)2;
- б) (x−y)2.
Краткое решение
а)(x+y)2=(y+x)2=(−x−y)2=x2+2xy+y2. б)(x−y)2=(y−x)2=(−y+x)2=(−x+y)2=x2−2xy+y2. Подробное решение
📚 Теория: Равенство квадратов противоположных выражений
При возведении в квадрат знаки всех слагаемых внутри скобок можно изменить на противоположные, и результат останется прежним. Это следует из свойства (−a)2=a2.
То есть: (a−b)2=(b−a)2 и (a+b)2=(−a−b)2.
Подробный разбор тождеств
Разбор пункта а)
Нам нужно найти выражения, результат раскрытия которых совпадает с x2+2xy+y2.
- (y + x)² — здесь просто изменен порядок слагаемых (переместительный закон сложения).
- (-x - y)² — если вынести минус за скобки, получим (−(x+y))2. При возведении в квадрат (−1)2=1, поэтому выражение превращается в (x+y)2.
Разбор пункта б)
Ищем выражения, равные x2−2xy+y2.
- (y - x)² — разность y−x противоположна разности x−y. Квадраты противоположных чисел всегда равны.
- (-y + x)² — это то же самое, что (x−y)2, просто слагаемые записаны в другом порядке.
- (-x + y)² — это то же самое, что (y−x)2, что, как мы выяснили выше, равно (x−y)2.
