Главная / 7 класс / Алгебра Макарычев / Номер 895

Номер 895 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите тождество:

а) (a+b)2−4ab=(a−b)2;(a + b)^2 - 4ab = (a - b)^2;

б) (a−b)2+4ab=(a+b)2;(a - b)^2 + 4ab = (a + b)^2;

в) (x+3)3+(x−3)3=2x3+54x.(x + 3)^3 + (x - 3)^3 = 2x^3 + 54x.

Краткое решение

а) Преобразуем левую часть:

(a+b)2−4ab=(a + b)^2 - 4ab =
=a2+2ab+b2−4ab== a^2 + 2ab + b^2 - 4ab =
=a2−2ab+b2== a^2 - 2ab + b^2 =
=(a−b)2.= (a - b)^2.

(a−b)2=(a−b)2(a - b)^2 = (a - b)^2 — тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть:

(a−b)2+4ab=(a - b)^2 + 4ab =
=a2−2ab+b2+4ab== a^2 - 2ab + b^2 + 4ab =
=a2+2ab+b2== a^2 + 2ab + b^2 =
=(a+b)2.= (a + b)^2.

(a+b)2=(a+b)2(a + b)^2 = (a + b)^2 — тождество доказано.

в) Преобразуем левую часть:

(x+3)3+(x−3)3=(x + 3)^3 + (x - 3)^3 =
=(x3+9x2+27x+27)+(x3−9x2+27x−27)== (x^3 + 9x^2 + 27x + 27) + (x^3 - 9x^2 + 27x - 27) =
=2x3+54x.= 2x^3 + 54x.

2x3+54x=2x3+54x2x^3 + 54x = 2x^3 + 54x — тождество доказано.

Подробное решение

📚 Как доказывать тождества

Тождество — это равенство, верное при любых значениях переменных. Чтобы его доказать:

  • Раскройте скобки в одной из частей равенства (обычно в более сложной).
  • Приведите подобные слагаемые.
  • Если после упрощения обе части стали одинаковыми — тождество доказано.

Развернутый пошаговый разбор доказательств

Пункт а): (a+b)2−4ab=(a−b)2(a + b)^2 - 4ab = (a - b)^2

1. Раскроем квадрат суммы в левой части: a2+2ab+b2a^2 + 2ab + b^2.

2. Запишем выражение целиком: a2+2ab+b2−4aba^2 + 2ab + b^2 - 4ab.

3. Приведем подобные слагаемые: 2ab−4ab=−2ab2ab - 4ab = -2ab. Получаем a2−2ab+b2a^2 - 2ab + b^2.

4. Это выражение является формулой квадрата разности: (a−b)2(a - b)^2. Левая часть совпала с правой.

Пункт в): (x+3)3+(x−3)3=2x3+54x(x + 3)^3 + (x - 3)^3 = 2x^3 + 54x

1. Воспользуемся формулами куба суммы и куба разности:

  • (x+3)3=x3+3⋅x2⋅3+3⋅x⋅32+33=x3+9x2+27x+27(x + 3)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27;
  • (x−3)3=x3−3⋅x2⋅3+3⋅x⋅32−33=x3−9x2+27x−27(x - 3)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27.

2. Складываем результаты: x3+x3x^3 + x^3 дает 2x32x^3, а 9x2−9x29x^2 - 9x^2 и 27−2727 - 27 взаимно уничтожаются.

3. Складываем 27x+27x=54x27x + 27x = 54x. Итого: 2x3+54x2x^3 + 54x.

💡 Похожие номера

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...