Докажите, что при любом натуральном n:
- а) значение выражения (4n+5)2−9 делится на 4;
- б) значение выражения (n+7)2−n2 делится на 7.
Краткое решение
а) (4n+5)2−32=
=(4n+5−3)(4n+5+3)= =(4n+2)(4n+8)= =(4n+2)⋅4(n+2). Выражение содержит множитель 4, значит, оно делится на 4.
б) (n+7)2−n2=
=(n+7−n)(n+7+n)= =7⋅(2n+7). Выражение содержит множитель 7, значит, оно делится на 7.
Подробное решение
📚 Доказательство делимости
Чтобы доказать, что выражение делится на число k:
- Разложите выражение на множители, используя формулу разности квадратов.
- Упростите содержимое скобок.
- Постарайтесь выделить число k как отдельный множитель перед скобками.
- Если один из множителей произведения делится на k, то и всё произведение делится на k.
Подробный разбор доказательств
Доказательство пункта а)
Нам дано выражение (4n+5)2−9. Число 9 можно представить как 32.
1. Применим формулу разности квадратов: ((4n+5)−3)((4n+5)+3).
2. Выполним вычисления в скобках: (4n+2)(4n+8).
3. Заметим, что во второй скобке оба слагаемых делятся на 4. Вынесем 4 за скобки: (4n+2)cdot4(n+2).
4. Мы получили произведение, в котором одним из множителей является число 4. По правилам арифметики такое произведение всегда будет делиться на 4 при любом целом n.
Доказательство пункта б)
Рассмотрим выражение (n+7)2−n2.
1. Разложим на множители: (n+7−n)(n+7+n).
2. В первой скобке n и −n взаимно уничтожаются, остается только число 7.
3. Упрощаем вторую скобку: 2n+7. Получаем произведение: 7⋅(2n+7).
4. Так как число 7 является множителем, всё выражение кратно (делится) 7. Утверждение доказано.
