Номер 940 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

(Для работы в парах.) Впишите вместо многоточия в выражение

(n + 8)(n - 4) - (n + 3)(n - 2) + \dots

пропущенное число так, чтобы получилось выражение, значение которого при любом целом $n$ делится на 3.

Краткое решение

1) $(n + 8)(n - 4) - (n + 3)(n - 2) =$

= n^2 - 4n + 8n - 32 - (n^2 - 2n + 3n - 6) =

= n^2 + 4n - 32 - n^2 + 2n - 3n + 6 =

= 3n - 26.

2) Пропущенное число должно быть таким, чтобы сумма этого числа и числа $-26$ делилась нацело на 3.

3) Свободное число может быть равно:

$-1; 2; 5$ и т.д.

Проверка:

3n - 26 + (-1) = 3n - 27 =

= 3(n - 9) \text{ — делится на 3 для любого целого } n.

3n - 26 + 2 = 3n - 24 =

= 3(n - 8) \text{ — делится на 3 для любого целого } n.

3n - 26 + 5 = 3n - 21 =

= 3(n - 7) \text{ — делится на 3 для любого целого } n.

Подробное решение

Чтобы сумма $A + B$ делилась на число $k$ :

Если одно слагаемое уже делится на $k$ (например, $3n$ делится на 3), то и второе слагаемое должно быть кратно $k$ .
В этой задаче мы подбираем число $C$ так, чтобы результат $-26 + C$ делился на 3 без остатка.
Числа, делящиеся на 3: $\dots, -3, 0, 3, 6, 9, \dots$ .

Сначала раскроем скобки в левой части выражения, используя правило умножения многочленов:

Теперь вычтем второе из первого, меняя знаки во второй скобке:
$n^2 + 4n - 32 - n^2 + 2n - 3n + 6 = 3n - 26$ .

Мы получили выражение $3n - 26$ . Слагаемое $3n$ всегда делится на 3, так как имеет множитель 3.

Значит, сумма пропущенного числа и $-26$ должна быть кратна 3.
Ближайшие числа к 26, делящиеся на 3 — это 24 и 27.

Краткое решение